В ромбе АВСD|AС|=12, |ВD|= 16.От вершин А и В отложены векторы АЕ и ВК, равные ВD и АС соответственно. Найдите длину вектора КЕ.

Задача: в ромбе ABCD с диаметрами AC = 12 и BD = 16 от вершин A и B отложены векторы AE = BD и BK = AC. Найдите длину KE.

Решение (пошагово):

1. Свойства ромба.

• Диагонали пересекаются в их серединах и взаимно перпендикулярны. Пусть O — пересечение диагоналей.
• Положим O в начало координат. Тогда OA = OC = 6, OB = OD = 8.
• Расположим диагонали по осям: ось Ox вдоль AC, ось Oy вдоль BD. Тогда можно взять: A = (-6, 0), C = (6, 0), B = (0, 8), D = (0, -8).

2. Векторы BD и AC.

• BD = D − B = (0, −8) − (0, 8) = (0, −16).
• AC = C − A = (6, 0) − (−6, 0) = (12, 0).

3. Точку E и точку K.

• AE = BD, значит E = A + BD = (−6, 0) + (0, −16) = (−6, −16).
• BK = AC, значит K = B + AC = (0, 8) + (12, 0) = (12, 8).

4. Длина вектора KE.

• KE = K − E = (12 − (−6), 8 − (−16)) = (18, 24).
• |KE| = √(18^2 + 24^2) = √(324 + 576) = √900 = 30.

Ответ: 30.