" Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону…
" Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=U0sin(ωt+φ), где t — время в секундах, амплитуда U0=2 В, частота ω=120∘/с, фаза φ=−30∘. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В1 \, \text{В}, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть? "
Классно, давай разберёмся вместе.
Суть задачи: есть сигнал U(t) = U0 sin(ω t + φ), где U0 = 2 В, ω = 120°/с, φ = −30°. Лампочка загорается, когда U(t) ≥ 1 В. Нужно узнать, какая доля времени из первой секунды лампочка горит.
Стратегия (кратко):
- Условие: U0 sin(ω t + φ) ≥ 1 → sin(ω t + φ) ≥ 1/2.
- Значит мы ищем моменты, когда угол θ(t) = ω t + φ лежит в диапазоне, где синус не меньше 1/2.
- Величина arcsin(1/2) = 30°. Синус ≥ 1/2 на интервалы [30° + 360°k, 150° + 360°k].
- Подставляем θ(t) = ω t + φ и ищем t в первом интервале.
Полный ход решения:
- Условие: 120°/с · t + (−30°) ∈ [30° + 360°k, 150° + 360°k].
- Это даёт 120 t ∈ [60 + 360°k, 180 + 360°k], значит t ∈ [0.5 + 3k, 1.5 + 3k].
- В интервале времени [0, 1] сек сама первая секунда, пересечение даёт t ∈ [0.5, 1].
- Длительность горения за первую секунду: 1 − 0.5 = 0.5 с.
- Доля времени: 0.5 с из 1 с = 50%.
Сравнение с твоим ответом:
- Твой ответ: 1. Это означает либо 1 секунда, либо 100% времени — это неверно для первой секунды.
- Правильный ответ: 50%.
Итог: лампочка горит половину первой секунды, т.е. 50%.
Если что-то осталось непонятно или хочешь ещё примеры подобного типа — скажи, разложу подробнее. Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.
