Вычислить (3-i) в -3 степени

Задача: вычислить (3 − i)^(−3).

Пошаговое решение:

1. Так как степень отрицательная, сначала найдём (3 − i)^3, затем возьмём обратную квадрате и кубе:

   • Сначала (3 − i)^2 = 9 − 6i + i^2 = 9 − 6i − 1 = 8 − 6i.
   • Затем (3 − i)^3 = (3 − i)(8 − 6i) = 24 − 18i − 8i + 6i^2 = 24 − 26i − 6 = 18 − 26i.

2. Следовательно (3 − i)^(−3) = 1/(3 − i)^3 = 1/(18 − 26i).

3. Рационализуем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое:

   • 1/(18 − 26i) = (18 + 26i) / [(18)^2 + (26)^2].
   • 18^2 = 324, 26^2 = 676, сумма = 1000.
   • Значение = (18 + 26i) / 1000 = 18/1000 + (26/1000)i = 9/500 + (13/500)i.

Ответ: (3 − i)^(−3) = 9/500 + (13/500)i ≈ 0.018 + 0.026i.