(x/4+1)×(5-6x)(x-2)<0

Задача: (x/4 + 1) × (5 − 6x) × (x − 2) < 0 Цель: понять решение пошагово. 1) Приведение к удобной форме и точки разрыва по знаку - Перепишем первый множитель так, чтобы явно увидеть его ноль и знак: x/4 + 1 = (x + 4)/4. - Нули факторов: - x + 4 = 0 → x = -4 - 5 − 6x = 0 → x = 5/6 - x − 2 = 0 → x = 2 - Эти значения делят ось на интервалы. Поскольку множитель 1/4 константный положительный, знак произведения определяется знаками факторов (x + 4), (5 − 6x), (x − 2). 2) Интервалы и знаки произведения Разделим ось по точкам -4, 5/6, 2. Рассмотрим интервалы: (-∞, -4), (-4, 5/6), (5/6, 2), (2, ∞) Каждому интервалу назначим знак каждого множителя: - Interval (-∞, -4): - x + 4 < 0 → первый множитель отрицателен - 5 − 6x > 0 (например x = -5 → 5 − 6(-5) = 35) → второй множитель положителен - x − 2 < 0 → третий множитель отрицателен Произведение: отрицательное × положительное × отрицательное = положительное. - Interval (-4, 5/6): - x + 4 > 0 → первый положителен - 5 − 6x > 0 (на этом интервале x < 5/6) → второй положителен - x − 2 < 0 → третий отрицателен Произведение: положительное × положительное × отрицательное = отрицательное. - Interval (5/6, 2): - x + 4 > 0 → первый положителен - 5 − 6x < 0 (на этом интервале x > 5/6) → второй отрицателен - x − 2 < 0 → третий отрицателен Произведение: положительное × отрицательное × отрицательное = положительное. - Interval (2, ∞): - x + 4 > 0 → первый положителен - 5 − 6x < 0 → второй отрицателен - x − 2 > 0 → третий положителен Произведение: положительное × отрицательное × положительное = отрицательное. 3) Ссылка на условие неравенства Нам нужно, чтобы произведение было меньше 0. Из анализа знаков видим: - на (-∞, -4) произведение > 0 → не подходит - на (-4, 5/6) произведение < 0 → подходит - на (5/6, 2) произведение > 0 → не подходит - на (2, ∞) произведение < 0 → подходит 4) Исключаем нули При равенстве нулю одно из множителей равно нулю: x = -4, x = 5/6, x = 2. Разрешение — строгое неравенство, поэтому эти точки исключаем из решения. Итоговый ответ x ∈ (-4, 5/6) ∪ (2, ∞) Краткое пояснение - Ноль произведения достигается на x = -4, 5/6, 2, их нужно исключить для неравенства < 0. - Знаки множителей на промежутках меняются лишь в этих точках, поэтому достаточно проверить четыре интервала. - В результате получаем два подходящих интервала: (-4, 5/6) и (2, ∞).