Построить равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = = 4 см; АС = 3 см. Точки D и Е - середины сторон АВ и ВС. 1) Найти длину векторов DB, СА, ВС 2) Найти вектор равный вектору СЕ ; BD . Равны ли векторы AD и DB ; АВ и СВ ? Найти вектор, противоположный DB ; ВС . Найти вектор, сонаправленный АВ , ED . Найти вектор, противоположно направленный АВ , СА . Найти вектор, коллинеарный DE ; ЕС •

Задача: равнобедренный треугольник ABC, AB = BC = 4 см, AC = 3 см. D и E — середины AB и BC. Будем работать векторно. Обозначим: - AB = B − A - BC = C − B - CA = A − C 1) Найти длины векторов DB, CA, BC - D — середина AB, значит D = (A + B)/2. BD = D − B = (A + B)/2 − B = (A − B)/2 = −(B − A)/2 = −1/2 AB. Длина: |BD| = |AB|/2 = 4/2 = 2 см. - CA = A − C. Длина |CA| равна длине AC, дано 3 см. - BC = C − B. Длина |BC| равна 4 см (дано AB = BC = 4 см). Итого: |DB| = 2 см, |CA| = 3 см, |BC| = 4 см. 2) Найти вектор, равный вектору CE; BD - E — середина BC, значит E = (B + C)/2. CE = E − C = (B + C)/2 − C = (B − C)/2 = 1/2 CB. То есть CE равен половине вектора CB (направление от C к B). - BD мы уже нашли: BD = −1/2 AB. Таким образом: - CE = 1/2 CB, - BD = −1/2 AB. (Численно в нашей системе координат CE имеет величину 2 единицы по длине, BD имеет величину 2 единицы по длине в противоположном направлении AB.) 3) Равны ли векторы AD и DB; AB и CB? - AD = D − A = (A + B)/2 − A = (B − A)/2 = 1/2 AB. - DB = B − D = B − (A + B)/2 = (B − A)/2 = 1/2 AB. Следовательно, AD и DB равны как векторы: AD = DB = 1/2 AB. - AB и CB по длине равны: |AB| = |CB| = 4 см. Но как векторы, AB и CB не равны в общем случае (они имеют разное направление: AB = B − A, CB = B − C). Поэтому утверждать, что AB и CB равны как векторы, нельзя. 4) Найти вектор, противоположный DB; BC - Противоположный направлению DB вектор — это вектор BD (то есть направление от B к D). Таким образом, противоположный DB вектор равен BD. - Противоположный BC вектор — это CB (направление от C к B). 5) Найти вектор, сонаправленный AB, ED - Вектор ED = E − D = (B + C)/2 − (A + B)/2 = (C − A)/2 = −1/2 CA. ED параллелен CA, а не AB (для общего неравнобедренного треугольника AC не параллелен AB). Следовательно, не существует ненулевого вектора, который был бы сонаправлен и AB, и ED одновременно. Единственный общий вектор — нулевой. 6) Найти вектор, противоположно направленный AB, CA - AB и CA в общем не параллельны (это стороны треугольника). Следовательно не существует ненулевого вектора, который был бы противоположно направлен одновременно и AB, и CA. Единственный такой вектор — нулевой. 7) Найти вектор, коллинеарный DE; EC - DE параллелен CA (ED = −1/2 CA). - EC параллелен CB (EC = −1/2 BC). DE и EC коллинеарны не в общем случае (CA и CB обычно не параллельны). Следовательно, единственный вектор, коллинеарный и DE, и EC, — нулевой. Итоговые наблюдения: - Длины: |BD| = 2 см, |CA| = 3 см, |BC| = 4 см. - Векторы: BD = −1/2 AB, CE = 1/2 CB, AD = 1/2 AB. - ED = −1/2 CA (DE параллелен AC и равен половине AC по модулю). - AD = DB. - AB и CB имеют одинаковую длину (4 см), но не равны как векторы. - Многие запросы про одновременную сонаправленность/коллинеарность не имеют ненулочного решения в общем случае для данного треугольника; единственный общий ненулевой вектор в таких случаях обычно отсутствует.