В параллелограмме A B C D ABCD проведена биссектриса угла A A , пересекающая сторону B C BC в точке K K . Найдите K C KC , если A B = 7 AB=7 , а периметр параллелограмма равен 32…

Решение по шагам

1. Найдём стороны параллелограмма.

• Периметр: P = 2(AB + BC) = 32 ⇒ AB + BC = 16.
• Дано AB = 7, значит BC = 16 − 7 = 9.
• В параллелограмме BC = AD, поэтому AD = 9.

2. Установим координаты для простоты вычислений.

• Пусть A = (0, 0), AB лежит вдоль оси x: B = (7, 0).
• Вектор AD имеет длину 9 и направление под углом θ к AB: D = (9 cos θ, 9 sin θ).
• Тогда C = B + AD = (7 + 9 cos θ, 9 sin θ).

3. Биссектриса угла A.

• В сторону AB направлен вектор (1, 0); в сторону AD — единичный вектор (cos θ, sin θ).
• Направляющий вектор биссектрисы AK: w = (1, 0) + (cos θ, sin θ) = (1 + cos θ, sin θ).
• Уравнение луча AK: K = s(1 + cos θ, sin θ).

4. Прямая BC.

• Вектор BC = C − B = (9 cos θ, 9 sin θ).
• Прямая BC: KB находитcся по параметру t: B + t(9 cos θ, 9 sin θ) = (7, 0) + t(9 cos θ, 9 sin θ).

5. Найдём пересечение AK и BC.

• Приравниваем координаты: s(1 + cos θ) = 7 + 9t cos θ и s sin θ = 9t sin θ.
• Если sin θ ≠ 0 (что верно для ненулевого угла параллелограмма), получаем s = 9t.
• Подставляя в первую координату: 9t(1 + cos θ) = 7 + 9t cos θ ⇒ 9t = 7 ⇒ t = 7/9.

6. Найдём KC.

• Длина BC равна 9. Точка K лежит на BC на расстоянии t от B, значит BK = t · BC = (7/9) · 9 = 7.
• Следовательно KC = BC − BK = 9 − 7 = 2.

Ответ: KC = 2.