Величина формулы перемещение тела при свободном падении

Задача: найти формулу перемещения тела при свободном падении и понять, как она работает.

Предпосылки (при условии, что сопротивление воздуха пренебрегается, движение вдоль вертикали, ускорение constant):

• Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с² (на Земле), направление вниз.
• Нужно выбрать систему координат. Обычно:
  • Вверх положительно: положим ось y вверх, тогда ускорение a = -g.
  • Вниз положительно: ось вниз, тогда a = +g.

1. Общая формула перемещения (по времени)

• Обозначим:
  • s0 — начальная высота (или начальное положение).
  • v0 — начальная скорость (на старте: направление учтено знаком).
  • t — прошедшее время.
  • a — ускорение (при свободном падении a = -g, если вверх положительно).
• Тогда перемещение s(t) от начала отсчета:
  • При верхней положительной оси (верх = +, вниз = -): s(t) = s0 + v0 t - (1/2) g t^2.
  • При оси вниз положительной: s(t) = s0 + v0 t + (1/2) g t^2.
• Величину перемещения за время t можно обозначить как Δs = s(t) - s0:
  • Δs(t) = v0 t - (1/2) g t^2 (для вверх-положительной оси).
  • Δs(t) = v0 t + (1/2) g t^2 (для вниз-положительной оси).

2. Связь скорости и времени

• Скорость: v(t) = v0 + a t.
  • При вверх-положительной оси: v(t) = v0 - g t.
  • При вниз-положительной оси: v(t) = v0 + g t.
• Если заданы только начальная и конечная высоты, можно найти перемещение без времени:
  • v^2 = v0^2 + 2 a (s - s0).
  • Это соотношение полезно для вычисления скорости при известном перемещении.

3. Специальные случаи

• Отсутствие начальной скорости (v0 = 0), движение вниз:
  • Перемещение за время t: Δs(t) = (1/2) g t^2 (для вниз-положительной оси).
  • Время до достижения заданной высоты h: t = sqrt(2h/g).
  • Скорость при этом моменте: v = g t = sqrt(2 g h) (ускорение g и знак учитываются по выбранной системе координат).
• Свободное падение с начальной скоростью v0 вниз:
  • Δs(t) = v0 t + (1/2) g t^2 (для вниз-положительной оси).
  • Скорость: v(t) = v0 + g t.
• Свободное падение с начальной скоростью вверх (v0 отрицательное в системе вверх-положительной оси):
  • Δs(t) = v0 t - (1/2) g t^2.
  • Скорость: v(t) = v0 - g t.

4. Пример (числовой)

• Пример 1: тело отпускают с высоты s0 = 20 м, изначальная скорость v0 = 0, без сопротивления.
  • Вниз-положительная ось: Δs(t) = (1/2) g t^2.
  • Время до достижения пола: t = sqrt(2h/g) = sqrt(40/9,81) ≈ 2,02 s.
  • Скорость при касании: v = g t ≈ 9,81 * 2,02 ≈ 19,8 м/с.
• Пример 2: то же самое, но с начальной скоростью вниз v0 = 5 м/с.
  • Через время t: Δs(t) = 5 t + (1/2) g t^2.
  • Скорость: v(t) = 5 + g t.
  • Через 2 s: Δs(2) = 52 + 0.59,81*4 ≈ 10 + 19,62 ≈ 29,62 м; скорость v(2) ≈ 5 + 19,62 ≈ 24,62 м/с.

5. Важные замечания

• Эти формулы действуют только при отсутствии сопротивления воздуха и постоянном g.
• Если вы используете противоположные знаки или другую систему координат, просто следуйте выбранному знаку в формулах: замените знак у g и к каждому члену, где нужен минус или плюс.
• Для вертикального падения горизонтальная скорость не влияет на вертикальное перемещение в отсутствие сопротивления.

Если хотите, могу привести конкретное решение под ваш формат задачи (например, с заданной высотой, начальной скоростью и требуемым временем или скоростью на касании). Просто скажите параметры задачи.