найти производную y=x³

Задача: найти производную y = x^3

Метод 1. Правило степеней (быстрый способ)

• По правилу d/dx (x^n) = n x^(n-1) для любого n.
• Здесь n = 3: d/dx (x^3) = 3 x^2.
• Ответ: dy/dx = 3x^2.

Метод 2. По определению производной (пошагово)

1. Запишем определение производной: dy/dx = lim (h → 0) [(x + h)^3 − x^3] / h.
2. Раскроем куб: (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3.
3. Подставим в выражение: [(x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3) − x^3] / h = (3x^2h + 3x h^2 + h^3) / h.
4. Сократим на h: = 3x^2 + 3x h + h^2.
5. Примем предел h → 0: lim (h → 0) (3x^2 + 3x h + h^2) = 3x^2.
6. Ответ: dy/dx = 3x^2.

Дополнительные заметки

• Производная любой многочлена пишется как сумма производных его степенных членов. Для x^3 получаем 3x^2.
• Графически наклон касательной к кривой y = x^3 в точке x равен 3x^2; с ростом x наклон становится круче (для больших |x|).

Ответ: dy/dx = 3x^2.