Реши
Задача: сократить дробь (27 ∛(x^2) + 6 ∛x − 1) / (3 ∛(x^2) + ∛x).
Обозначим t = ∛x. Тогда ∛(x^2) = ∛x^2 = (∛x)^2 = t^2. Перепишем дробь: (27 t^2 + 6 t − 1) / (3 t^2 + t).
Выполним деление многочленов по степеням t: Делим 27 t^2 на 3 t^2 → 9. 9 · (3 t^2 + t) = 27 t^2 + 9 t. 27 t^2 + 6 t − 1 − (27 t^2 + 9 t) = −3 t − 1. Значит дробь = 9 + (−3 t − 1) / (3 t^2 + t).
Разложим знаменатель: 3 t^2 + t = t(3 t + 1). Тогда (−3 t − 1) / (t(3 t + 1)) = −(3 t + 1) / (t(3 t + 1)) = −1/t. Получаем: (27 t^2 + 6 t − 1) / (3 t^2 + t) = 9 − 1/t.
Вернем t = ∛x: E = 9 − 1/∛x = (9∛x − 1)/∛x = (9 ∛x − 1) / ∛x.
Ответ: (9 ∛x − 1) / ∛x. Альтернативно можно записать как 9 − 1/∛x.
Пояснение по областям определения: исходная дробь определена при t ≠ 0 и t ≠ −1/3, то есть при ∛x ≠ 0 и ∛x ≠ −1/3 (x ≠ 0 и x ≠ −1/27). В итоговом виде эта оговорка сохраняется. Для заполнения полей на изображении: pink — 9, green — 1.
