F(x) = x^4 - 2x

Вот подробный разбор функции f(x) = x^4 − 2x, чтобы лучше её понять. 1) Общие сведения - Домейн: всю числовую ось, то есть все real числа. - Записи функции: f(x) = x^4 − 2x. 2) Нули функции - Решаем x^4 − 2x = 0 → x(x^3 − 2) = 0. - Корни: x = 0 и x^3 = 2 → x = ∛2 ≈ 1.2599. - Значит график пересекает ось x в x ≈ 0 и x ≈ 1.2599. - Пример знаков: для x < 0 f(x) > 0; для 0 < x < ∛2 f(x) < 0; для x > ∛2 f(x) > 0. 3) Монотонность и экстремумы - Производная: f′(x) = 4x^3 − 2. - Точка минимума находится при f′(x) = 0 → 4x^3 − 2 = 0 → x^3 = 1/2 → x = ∛(1/2) = 2^(−1/3) ≈ 0.7937. - Вторая производная: f″(x) = 12x^2 ≥ 0 для всех x, причем f″(x0) > 0, где x0 = ∛(1/2). Значит точка x0 = 2^(−1/3) — локальный минимум. - Так как f(x) стремится к +∞ при x → ±∞, этот локальный минимум является глобальным минимумом функции. 4) Значение минимума - Обозначим x0 = ∛(1/2) и посчитаем f(x0). - Заметим, что x0^3 = 1/2, значит x0^4 = x0^3 · x0 = (1/2) x0. - Тогда f(x0) = x0^4 − 2x0 = (1/2)x0 − 2x0 = −(3/2) x0. - Подставим x0 = 2^(−1/3): f_min = −(3/2) · 2^(−1/3) = −3 / 2^(4/3). - Приближённо: f_min ≈ −1.19055. - Координаты точки минимума: (x0, f(x0)) = (2^(−1/3), −3 / 2^(4/3)). 5) Параметры графика - Поведение на бесконечности: f(x) → +∞ при x → ±∞. - Экстремумы: единственная критическая точка — глобальный минимум в x = ∛(1/2). - Нули: x = 0 и x = ∛2. - Знак на интервалах: - x < 0: f(x) > 0, - 0 < x < ∛2: f(x) < 0 (наименьшая точка примерно в 0.79, после чего начинается рост), - x > ∛2: f(x) > 0. 6) Краткое резюме - Функция возрастает на (-∞, ∛(1/2)] и убывает на [∛(1/2), ∞) или наоборот? Поскольку минимум в ∛(1/2), правильнее: убывает на (-∞, ∛(1/2)], возрастает на [∛(1/2), ∞). - Единственный локальный/глобальный минимум: x = ∛(1/2) с значением f_min = −3 / 2^(4/3). - Корни: x = 0 и x = ∛2. Если нужно, могу привести график или разобрать задачи типа "найти касательную в заданной точке" или "интеграл/площадь между графиком и осью" для этой функции.