4x²-3x-2=0

Задача: 4x^2 - 3x - 2 = 0 Цель: Понять решение подробно и шаг за шагом. 1) Коэффициенты - a = 4, b = -3, c = -2. 2) Проверка на факторизацию (иногда можно разложить на линейные множители) - Для факторизации вида (px + q)(rx + s) нужно pr = a = 4 и qs = c = -2, а ps + qr = b = -3. - Попробуем пары, чтобы p·r = 4 и q·s = -2. Примеры: (p, r) = (1,4) или (2,2), и для q·s = -2 — пары (1, -2), (-1, 2), (2, -1), (-2, 1). - Но задача требует, чтобы ps + qr = -3, и для всех таких комбинаций сумма получается не -3. Поэтому простая целочисленная факторизация не получается. Это обычный случай, когда рациональные корни отсутствуют и приходится прибегать к формуле. 3) Решение через формулу квадратного уравнения - Дискриминант D = b^2 - 4ac. D = (-3)^2 - 4·4·(-2) = 9 + 32 = 41. - Корни по формуле x = [-b ± sqrt(D)] / (2a): x = [3 ± sqrt(41)] / 8. 4) Альтернативный способ: полный квадрат (для лучшего понимания) - Разделим уравнение на 4: x^2 - (3/4)x - 1/2 = 0. - Приведём к форме (x − t)^2 = что-то: x^2 - (3/4)x = 1/2 Добавим и вычтем (полу коэффициента линейного терма)^2: (x - 3/8)^2 = 1/2 + (3/8)^2 = 1/2 + 9/64 = 32/64 + 9/64 = 41/64. - Тогда x - 3/8 = ± sqrt(41)/8, и x = 3/8 ± sqrt(41)/8 = (3 ± sqrt(41)) / 8. - Это даёт тот же результат, но через другой путь, полезно для понимания процесса. 5) Ответ - Точный корень: x = (3 ± sqrt(41)) / 8. - Приближённые значения: x ≈ 1.1754 и x ≈ −0.4254. 6) Проверка (по желанию) - Подставим корни в уравнение примерно: для x ≈ 1.1754 4(1.1754)^2 - 3(1.1754) - 2 ≈ 4(1.381) - 3.526 - 2 ≈ 5.524 - 5.526 ≈ -0.002 (близко к 0), что подтверждает корректность. - Аналогично для x ≈ −0.4254 получаем тоже близко к 0. Если хочешь, могу разложить задачу ещё одним способом или привести график, чтобы увидеть корни визуально.