в треугольнике ABC стороны AB и BC равны. точки M и N в середине сторон AB и BC соответственно .точка K делит сторону AC ,так что AK = KC. докажите что треугольник AMK и CNK равны
Дано: в треугольнике ABC AB = BC (треугольник с вершиной B на стороне равных боковых сторон). M — середина AB, N — середина BC, K — середина AC (AK = KC).
Докажем, что треугольники AMK и CNK конгруэнтны.
Пошагово:
AM = MB = AB/2, CN = NB = BC/2. Так как AB = BC, получаем AM = CN.
AK = KC (K — середина AC).
Угол между AM и AK равен углу между AB и AC, то ∠MAK = ∠BAC.
Угол между CN и CK равен углу между CB и CA, то ∠NCK = ∠BCA.
В треугольнике AB = BC является равнобедренным, поэтому базовые углы при A и C равны: ∠BAC = ∠ACB. Следовательно, ∠MAK = ∠NCK.
Имеем две стороны и заключённый между ними угол равные:
- AM = CN (п. 1)
- AK = CK (п. 2)
- ∠MAK = ∠NCK (п. 5)
Значит, треугольники AMK и CNK конгруэнтны по признаку SAS (две стороны и включённый между ними угол).
Следствие: MK = NK и соответствующие углы равны, то есть треугольники AMK и CNK равны.
