В прямоугольном треугольнике высота `h_c` к гипотенузе `c` равна `c/4`. Определить острые углы треугольника.

Решение:

Дано прямоугольный треугольник с гипотенузой c и высотой h_c, опустившейся на гипотенузу. Пусть углы при оставшихся вершинах назовём α и β (оба острые), а стороны против этих углов — a = BC и b = AC. Тогда c — гипотенуза, и выполняются соотношения a = c sin α, b = c cos α, а также a^2 + b^2 = c^2.

1. По площади треугольника: (1/2) ab = (1/2) c h_c → h_c = ab / c.

2. Подставим a и b через α: h_c = (c sin α)(c cos α) / c = c sin α cos α = (c/2) sin(2α).

3. По условию h_c = c/4: (c/2) sin(2α) = c/4 → sin(2α) = 1/2.

4. Решение для α (0° < α < 90°): 2α = 30° или 2α = 150° → α = 15° или α = 75°.

Тогда второй острый угол β = 90° − α равен 75° или 15° соответственно.

Ответ: острые углы треугольника равны 15° и 75°.