Отрезки, соединяющие основания высот остроуголь- ного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипоте- нузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около…

Задача по геометрии: пусть ABC — остроугольный треугольник. Пусть Ha, Hb, Hc — основания (типаFeet) высот на BC, CA, AB соответственно. Отрезки HaHbHc образуют orthic (правильную) треугольник с гипотенузой 10.

Решение:

1. Связь orthic треугольника с окружностями исходного треугольника.

• Треугольник HaHbHc называется ортиком (orthic). Его вершины лежат на окружности, которая называется девятиточной (nine-point circle) окружностью исходного треугольника ABC.
• Радиус этой девятиточной окружности равен половине радиуса описанной окружности исходного треугольника: R_9 = R/2, где R — радиус описанной окружности ABC.

2. Используем данное условие.

• Треугольник HaHbHc прямоугольный, следовательно его circumscribed circle имеет радиус, равный половине гипотенузы. Гипотенуза равна 10, значит радиус описанной окружности ортикуха равен 10/2 = 5.
• Но этот радиус есть R_9 = R/2. Значит R/2 = 5, откуда R = 10.

Ответ: радиус описанной окружности исходного треугольника равен 10.