Связь существует между словами «выгонцы» и «казаки»?

Да, связь существует. Одним из возможных объяснений этой связи является то, что в разные периоды истории казаки могли быть социально и политически определенными как выгонцы или изгнанники. Например, в период после Пугачевской бунта многие казаки были признаны властями как выгнанцы из поселений и отправлены в ссылку.