Найдите углы треугольника с вершинами А (0; корень 3), В (2; корень 3), C (3/2; корень 3/2).

Имеем треугольник с вершинами A(0; √3), B(2; √3), C(3/2; √3/2).

1. Найдём длины сторон

• AB: вектор AB = B − A = (2 − 0; √3 − √3) = (2; 0). Длина AB = 2.
• AC: вектор AC = C − A = (3/2 − 0; √3/2 − √3) = (3/2; −√3/2). Длина AC = sqrt((3/2)² + (√3/2)²) = sqrt(9/4 + 3/4) = sqrt(12/4) = √3.
• BC: вектор BC = C − B = (3/2 − 2; √3/2 − √3) = (−1/2; −√3/2). Длина BC = sqrt((1/2)² + (√3/2)²) = sqrt(1/4 + 3/4) = 1.

Итого: AB = 2, AC = √3, BC = 1.

2. Найдём углы

• ∠A между векторами AB и AC: AB · AC = (2, 0) · (3/2, −√3/2) = 3. |AB| = 2, |AC| = √3. cos ∠A = 3 / (2·√3) = √3/2 → ∠A = 30°.

• ∠B между векторами BA и BC: BA = A − B = (−2, 0), BC = (−1/2, −√3/2). BA · BC = (−2)(−1/2) + 0·(−√3/2) = 1. |BA| = 2, |BC| = 1. cos ∠B = 1 / (2·1) = 1/2 → ∠B = 60°.

• ∠C можно найти как 180° − ∠A − ∠B = 180° − 30° − 60° = 90°. Также можно проверить скалярное произведение CA · CB = 0, что подтверждает прямой угол в C.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. Треугольник является прямоугольным в вершине C и является треугольником 30°-60°-90°.