связь существует между словами «выгонцы» и «казаки»?

Да, существует связь между словами "выгонцы" и "казаки". В истории России казаки были выходцами из разных слоев населения, которые получали особые привилегии и права, в том числе на выход из государственного подчинения. Они были свободными от обязательной воинской или крепостной службы и могли выезжать за пределы оседлого населения. Выражение "выгонцы" в отношении казаков отражает их особый статус и свободу передвижения.