Постройте график функции и перечислите её свойства y=8/x

График функции y = 8/x и её свойства 1) Область определения и общий вид - Область определения: x ≠ 0. - График представляет собой гиперболу, разбитую на две ветви: в первой и в третьей квадрантах. - Функция не имеет нулевых пересечений с осями (ни X-, ни Y-перехватов нет). 2) Асимптоты - Вертикальная асимптота: x = 0. - Горизонтальная асимптота: y = 0. - Пределы: - при x → 0+: y → +∞; - при x → 0−: y → −∞; - при x → +∞: y → 0+; - при x → −∞: y → 0−. 3) Свойства графика - Симметрия: функция нечетная, f(−x) = −f(x). График симметричен относительно начала координат. - Укрупнение/масштаб: y = 8/x — это вертикальное растяжение базовой гиперболы y = 1/x в 8 раз. - Производная и монотонность: - y = 8/x = 8x^(-1) - y' = −8/x^2 - Следовательно, на каждом из промежутков (−∞, 0) и (0, ∞) функция строго убывает (y' < 0). - Вторая производная: - y'' = 16/x^3 - Для x > 0: y'' > 0, график выпуклый вверх - Для x < 0: y'' < 0, график выпуклый вниз - Диапазон значений: - y ∈ (0, ∞) на ветви x > 0 - y ∈ (−∞, 0) на ветви x < 0 - 0 не достигается ни при каком x, т.к. y не может быть равно нулю. - Нулевые точки и пересечения с осью: - Нет x-пересечения (x-координата не существует для y = 0) - Нет y-пересечения (для x = 0 функция не определена) 4) Пример точек для построения - На ветви x > 0: - (1, 8) - (2, 4) - (4, 2) - (8, 1) - На ветви x < 0: - (−1, −8) - (−2, −4) - (−4, −2) - (−8, −1) 5) Как построить график пошагово - Нарисуйте координатные оси и отметьте асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0. - Постройте несколько точек: приведённые выше пары (x, y). - Соедините точки плавной кривой по каждой ветви, следуя тому, что при приближении к x = 0 ветви расходятся к ±∞, а при больших |x| значения y стремятся к 0. - Учтите симметрию относительно начала координат. Кратко: y = 8/x — это ускоренная по вертикали копия базовой гиперболы y = 1/x, с двумя ветвями в первом и третьем квадрантах, двумя асимптотами x = 0 и y = 0, и свойствами нечетности и монотонности на каждом из интервалов x > 0 и x < 0.