Задача Задача №3406734
А
А
постройте график функции и перечислите её свойства y=8/x
График функции y = 8/x и её свойства
- Область определения и общий вид
- Область определения: x ≠ 0.
- График представляет собой гиперболу, разбитую на две ветви: в первой и в третьей квадрантах.
- Функция не имеет нулевых пересечений с осями (ни X-, ни Y-перехватов нет).
- Асимптоты
- Вертикальная асимптота: x = 0.
- Горизонтальная асимптота: y = 0.
- Пределы:
- при x → 0+: y → +∞;
- при x → 0−: y → −∞;
- при x → +∞: y → 0+;
- при x → −∞: y → 0−.
- Свойства графика
- Симметрия: функция нечетная, f(−x) = −f(x). График симметричен относительно начала координат.
- Укрупнение/масштаб: y = 8/x — это вертикальное растяжение базовой гиперболы y = 1/x в 8 раз.
- Производная и монотонность:
- y = 8/x = 8x^(-1)
- y' = −8/x^2
- Следовательно, на каждом из промежутков (−∞, 0) и (0, ∞) функция строго убывает (y' < 0).
- Вторая производная:
- y'' = 16/x^3
- Для x > 0: y'' > 0, график выпуклый вверх
- Для x < 0: y'' < 0, график выпуклый вниз
- Диапазон значений:
- y ∈ (0, ∞) на ветви x > 0
- y ∈ (−∞, 0) на ветви x < 0
- 0 не достигается ни при каком x, т.к. y не может быть равно нулю.
- Нулевые точки и пересечения с осью:
- Нет x-пересечения (x-координата не существует для y = 0)
- Нет y-пересечения (для x = 0 функция не определена)
- Пример точек для построения
- На ветви x > 0:
- (1, 8)
- (2, 4)
- (4, 2)
- (8, 1)
- На ветви x < 0:
- (−1, −8)
- (−2, −4)
- (−4, −2)
- (−8, −1)
- Как построить график пошагово
- Нарисуйте координатные оси и отметьте асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0.
- Постройте несколько точек: приведённые выше пары (x, y).
- Соедините точки плавной кривой по каждой ветви, следуя тому, что при приближении к x = 0 ветви расходятся к ±∞, а при больших |x| значения y стремятся к 0.
- Учтите симметрию относительно начала координат.
Кратко: y = 8/x — это ускоренная по вертикали копия базовой гиперболы y = 1/x, с двумя ветвями в первом и третьем квадрантах, двумя асимптотами x = 0 и y = 0, и свойствами нечетности и монотонности на каждом из интервалов x > 0 и x < 0.
