2/(x ^ 2 + 3xy) + 3/(y ^ 2 - xy) = 25/14; 3/(x ^ 2 + 3xy) - 2/(y ^ 2 - xy) = - 4/7

Решение задачи с объяснениями шаг за шагом. Дано: 2/(x^2 + 3xy) + 3/(y^2 - xy) = 25/14 3/(x^2 + 3xy) - 2/(y^2 - xy) = -4/7 1) Введем удобные обозначения Пусть: A = x^2 + 3xy B = y^2 - xy Тогда система принимает вид в переменных p и q, где p = 1/A, q = 1/B: 2p + 3q = 25/14 3p - 2q = -4/7 2) Найдем p и q Решаем линейную систему: Из первого уравнения: 2p + 3q = 25/14 Из второго уравнения: 3p - 2q = -4/7 Решение даёт: q = 1/2 p = 1/7 Значит: 1/A = p = 1/7 => A = 7 1/B = q = 1/2 => B = 2 Итак получаем систему двух квадратных форм: x^2 + 3xy = 7 y^2 - xy = 2 3) Решаем получившуюся систему для x и y Обозначим: a = x^2, b = y^2, c = xy Тогда: a + 3c = 7 b - c = 2 и связь между ними: c^2 = ab (поскольку c^2 = x^2 y^2 = ab) Выразим a и b через c: a = 7 - 3c b = 2 + c Подставим в c^2 = ab: c^2 = (7 - 3c)(2 + c) = 14 + c - 3c^2 Перенесем всё в одну сторону: c^2 + 3c^2 - c - 14 = 0 → 4c^2 - c - 14 = 0 Решение квадр. уравнения: D = (-1)^2 - 4·4·(-14) = 1 + 224 = 225 c = [1 ± sqrt(225)] / (2·4) = [1 ± 15] / 8 Получаем два значения c = xy: - c = 2 - c = -7/4 Рассмотрим оба случая. И) c = xy = 2 Тогда a = x^2 = 7 - 3c = 7 - 6 = 1 → x = ±1 b = y^2 = 2 + c = 4 → y = ±2 Чтобы xy = 2, знаки x и y должны совпадать: - (x, y) = (1, 2) - (x, y) = (-1, -2) II) c = xy = -7/4 Тогда a = x^2 = 7 - 3c = 7 - 3(-7/4) = 7 + 21/4 = 49/4 → x = ±7/2 b = y^2 = 2 + c = 2 - 7/4 = 1/4 → y = ±1/2 Чтобы xy = -7/4, знаки должны быть противоположными: - (x, y) = (7/2, -1/2) - (x, y) = (-7/2, 1/2) 4) Итог Все корни системы: (1, 2), (-1, -2), (7/2, -1/2), (-7/2, 1/2) Проверка находимся в пределах допустимых значений, знаменатели не нулевые для найденных пар. Можно подставить любой из полученных пары обратно в исходные уравнения для проверки. Если нужно, могу предложить краткое числовое подтверждение для каждого решения.