Сократить рациональную дробь0,5х²-1,25х+1/0,25х+0,75 8 класс

Задача: сократить рациональную дробь (0,5x^2 − 1,25x + 1) / (0,25x + 0,75) для 8 класса.

Пошаговое решение:

1. Привести коэффициенты к дробям, чтобы не было десятичных дробей.

• 0,5 = 1/2, 1,25 = 5/4, 0,25 = 1/4, 0,75 = 3/4.
• Дробь становится: [(1/2)x^2 − (5/4)x + 1] / [(1/4)x + 3/4].

2. Избавиться от знаменателей внутри дроби. Перемножим числитель и знаменатель на 4.

• Числитель: 4 · [(1/2)x^2 − (5/4)x + 1] = 2x^2 − 5x + 4.
• Знаменатель: 4 · [(1/4)x + 3/4] = x + 3.
• Получаем: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3), при x ≠ −3.

3. Проверка на сокращение.

• Проблему cancels ли общий множитель между числителем и (x+3) — попробуем факторизовать числитель. Дискриминант 24? точнее: D = (−5)^2 − 4·2·4 = 25 − 32 = −7 < 0, значит числитель не имеет рациональных корней и не делится на (x+3) с сохранением целого коэффициента.
• Следовательно, дробь уже сокращению не поддается. Это минимальная форма: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3).

4. Альтернативно (для понимания) можно разделить многочлен числитель на знаменатель:

• Деление (2x^2 − 5x + 4) на (x + 3) даёт частное 2x − 11 и остаток 37.
• Значит: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3) = 2x − 11 + 37/(x + 3).

Ответ:

• Основная сокращенная форма: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3), с условием x ≠ −3.
• Или в виде разложения на частное и остаток: 2x − 11 + 37/(x + 3).