lim (sin 5x) / (2 tan 4x) as x -> 0 помогите вычислить пределы по 1-й замечательной предел

Ответ: 5/8

Пояснение по шагам с использованием 1-й замечательной предельной формы sin t ~ t и cos t → 1:

• Пусть L = lim_{x→0} sin(5x) / (2 tan(4x)).

• Приведём к форме с tan через sin и cos: tan(4x) = sin(4x)/cos(4x). Тогда L = (1/2) lim_{x→0} sin(5x) cos(4x) / sin(4x).

• Разделим на части через стандартные пределы: sin(5x) = (sin(5x)/(5x)) · (5x), sin(4x) = (sin(4x)/(4x)) · (4x), cos(4x) → 1 при x → 0, sin(5x)/(5x) → 1, sin(4x)/(4x) → 1.

• Тогда sin(5x) cos(4x) / sin(4x) = [ (sin(5x)/(5x)) / (sin(4x)/(4x)) ] · (5/4) · cos(4x).

• При x → 0 эти множители стремятся к 1, поэтому предел равен 5/4. Умножаем на 1/2: L = (1/2) · (5/4) = 5/8.

Кратко: предел равен 5/8, получено через первый замечательный предел lim sin t / t = 1.