Задача: вычислить 1567823^2.
Пояснение и решение (детальное):
Метод 1. Разложение как (A − B)^2
- Выберем A = 1,568,000 и B = 177, потому что 1,568,000 − 177 = 1,567,823.
- По формуле (A − B)^2 = A^2 − 2AB + B^2:
- A^2 = 1,568,000^2 = 2,458,624,000,000
- 2AB = 2 · 1,568,000 · 177 = 3,136,000 · 177 = 555,072,000
- B^2 = 177^2 = 31,329
- Суммируем: 2,458,624,000,000 − 555,072,000 + 31,329
- 2,458,624,000,000 − 555,072,000 = 2,458,068,928,000
- 2,458,068,928,000 + 31,329 = 2,458,068,959,329
Ответ: 2,458,068,959,329
Проверка (быстрый контроль):
- Последние две цифры квадрата должны быть 29 (23^2 ≡ 29 mod 100). Наш результат заканчивается на 329, что соответствует 29 в остатке при делении на 100. Также можно проверить через альтернативное разложение:
- 1,567,823 = 1,500,000 + 67,823
- (1,500,000 + 67,823)^2 = 1,500,000^2 + 2·1,500,000·67,823 + 67,823^2
- 1,500,000^2 = 2,250,000,000,000
- 2·1,500,000·67,823 = 203,469,000,000
- 67,823^2 = 4,599,959,329
- сумма = 2,250,000,000,000 + 203,469,000,000 + 4,599,959,329 = 2,458,068,959,329
- совпадает с результатом выше
Итого: 1567823^2 = 2 458 068 959 329.
