|х-6|=|х²-5х+9| сначала найди нули модуля

Задача: |x−6| = |x^2 − 5x + 9|. Цель: понять подробное решение.

1. Сначала найдём нули модулей

• Нуль модуля |x−6|: x − 6 = 0 → x = 6.
• Нуль модуля |x^2 − 5x + 9|: x^2 − 5x + 9 = 0. Дискриминант D = 25 − 36 = −11 < 0, следовательно, уравнение не имеет реальных корней. Значит выражение x^2 − 5x + 9 never обнуляется и всегда положительно (ведущее коэффициент положительный). Так что |x^2 − 5x + 9| > 0 для всех x. Можно также заметить, что x^2 − 5x + 9 = (x − 2.5)^2 + 2.75 > 0.

2. Так как |x^2 − 5x + 9| > 0 для всех x, можно писать |x − 6| = x^2 − 5x + 9 и рассматривать два случая:

• Case 1: x − 6 = x^2 − 5x + 9 Переносим члены: 0 = x^2 − 6x + 15 → x^2 − 6x + 15 = 0. Дискриминант D = (−6)^2 − 4·1·15 = 36 − 60 = −24 < 0. Реальных решений нет.

• Case 2: −(x − 6) = x^2 − 5x + 9 То же, что: −x + 6 = x^2 − 5x + 9. Переносим все в одну сторону: 0 = x^2 − 4x + 3 → x^2 − 4x + 3 = 0. Факторизуем: (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 или x = 3.

3. Проверка:

• Для x = 1: |1−6| = 5, |1^2 − 5·1 + 9| = |5| = 5 ✓
• Для x = 3: |3−6| = 3, |9 − 15 + 9| = |3| = 3 ✓

Ответ: x = 1 и x = 3.