Укажите варианты ответов, в которых все выделенные слова пишутся СЛИТНО. Запишите номера ответов (сначала разбираем каждое слово, потом указываем варианты ответов). Смотрим текст…

Разбираем каждое выделенное слово по орфографии и затем укажем подходящие варианты.

1. Костя много лет работал (ЗА)РУБЕЖОМ, (ПО)ЭТОМУ знал…

• за рубежом — обычно два слова (слово+предлог): за рубежом
• поэтому — пишется как одно слово: поэтому Итак, не все выделенные слова написаны слитно. Вариант 1 не подходит.

2. После того как соперники забрасывали свои бутылки, ватага ребятишек, расположившихся (В)НИЗУ на помосте для пловцов, бросалась в воду (НА)ПЕРЕГОНКИ и доставала их со дна.

• внизу — одно слово
• наперегонки — одно слово (слитное написание в значении «в гонке, на равных») Оба выделенных слова пишутся слитно. Вариант 2 подходит.

3. (В)ПОСЛЕДСТВИИ выяснилось ТАК(ЖЕ), что Иван собирался переехать к матери в деревню.

• впоследствии — одно слово
• также — одно слово Оба выделенных слова пишутся слитно. Вариант 3 подходит.

4. Мы сразу поняли, что дом покидали (В)ТОРОПЯХ, в соседнем доме ТО(ЖЕ) царил беспорядок и не было ни одной живой души.

• во второпях — обычно два слова (во + второпях)
• то же — два слова Хотя первые и вторые выделенные элементы встречаются как отдельные слова, они не слитыми; следовательно, вариант 4 не подходит.

5. (НА)КОНЕЦ знаменитый лектор поблагодарил слушателей, и ТО(ЖЕ) самое сделали остальные докладчики.

• наконец — одно слово
• то же — два слова Здесь не все выделенные слова слитны (то же — два слова). Вариант 5 не подходит.

Итого: правильные варианты — 2 и 3.