диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла A. Найдите сторону CD параллелограмма если его периметр равен 24 см.

Ответ: CD = 6 см

Пошаговое решение

1. Обозначим стороны параллелограмма:

• AB = a, AD = b.
• Так как ABCD — параллелограмм, противолежащие стороны равны: CD = AB = a, BC = AD = b.

Периметр дан: P = AB + BC + CD + DA = a + b + a + b = 2(a + b) = 24. Отсюда a + b = 12. (1)

2. Условие, что диагональ AC является биссектором угла A: ∠BAC = ∠CAD. То есть луч AC делит угол между AB и AD пополам.

Для вектора AB и AD можно показать, что равенство ∠BAC = ∠CAD эквивалентно равенству длин прилегающих сторон при данной геометрии:

• Пусть угол между AB и AD равен θ.
• Диагональ AC равна векторному сумме AB + AD.
• Выводим условие ∠BAC = ∠CAD и получаем, что (1 − cos θ)(a − b) = 0.
• Так как θ ≠ 0 (площадь не нулевая), получаем a = b.

Итак, AB = AD, следовательно параллелограмм является равнобедренной (ромбом): все стороны равны.

3. Из пункта 1 и пункта 2 получаем a = b и 2(a + b) = 24 → 4a = 24 → a = 6.

Так как CD = AB = a, то CD = 6 см.