Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график: 1. y=x³+3x² 2. y=3x-x³ 3. y=-x³+4x²-3 4. y=x³-3x+2 5. y=(-x³/3)+x²+3x-(11/3)

Ниже пошагово исследую каждую функцию на монотонность и экстремумы, а также дам короткую инструкцию по построению графика. Цель “Понять” учтена: объясняю каждую операцию и даю результаты. 1) y = x^3 + 3x^2 - Производная: f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2) - Точки критические: x = -2, x = 0 - Монотонность (проверяем знак f' на промежутках): - (-∞, -2): f' > 0 → функция возрастает - (-2, 0): f' < 0 → функция убывает - (0, ∞): f' > 0 → функция возрастает - Экстремумы (по знаку производной): - x = -2: переход + → - → локальный максимум. Значение: f(-2) = (-8) + 12 = 4 - x = 0: переход - → + → локальный минимум. Значение: f(0) = 0 - Прогноз по графику: многочлен третьей степени с положительным ведущим коэффициентом. На бесконечности слева функция идет на −∞, справа на +∞. Точка перегиба можно отметить в точке inflection: f''(x) = 6x + 6, точка перегиба x = −1, y = f(−1) = 2. - Ключевые точки для графика: (-2, 4) локальный максимум, (0, 0) локальный минимум, (−1, 2) инфлексная точка, пересечения с осью y: 0, пересечения с осью x: x = 0 (кратный корень) и x = −3. 2) y = 3x − x^3 - Производная: f'(x) = 3 − 3x^2 = 3(1 − x^2) - Точки критические: x = −1, x = 1 - Монотонность: - (-∞, −1): убывает (поскольку f' < 0) - (−1, 1): возрастает (f' > 0) - (1, ∞): убывает (f' < 0) - Экстремумы: - x = −1: локальный минимум. f(−1) = 3(−1) − (−1)^3 = −3 + 1 = −2 - x = 1: локальный максимум. f(1) = 3 − 1 = 2 - Прогноз по графику: как и у типа убывающей-возрастающей-убывающей кубической кривой. Конечным образом: f(x) → +∞ при x → −∞ и f(x) → −∞ при x → ∞. - Ключевые точки: критические x = −1 (−2) и x = 1 (2). y-перехват: f(0) = 0. x-пересечения: корни x(−x^2 + 3) = 0 → x = 0, ±√3. 3) y = −x^3 + 4x^2 − 3 - Производная: f'(x) = −3x^2 + 8x = x(−3x + 8) - Точки критические: x = 0, x = 8/3 ≈ 2.6667 - Монотонность: - (−∞, 0): убывает (f' < 0) - (0, 8/3): возрастает (f' > 0) - (8/3, ∞): убывает (f' < 0) - Экстремумы: - x = 0: локальный минимум. f(0) = −3 - x = 8/3: локальный максимум. f(8/3) = −(512/27) + 4·(64/9) − 3 = 175/27 ≈ 6.481 - Прогноз по графику: ведущий член −x^3 задаёт асимптоты: при x → −∞ график идёт к +∞, при x → ∞ — к −∞. - Инфлекционная точка: f''(x) = −6x + 8, нулевая на x = 4/3; y = f(4/3) = 47/27 ≈ 1.741. - Значимые точки: (0, −3) локальный минимум, (8/3, 175/27) локальный максимум, инфлекционная точка (4/3, 47/27). 4) y = x^3 − 3x + 2 - Производная: f'(x) = 3x^2 − 3 = 3(x^2 − 1) = 3(x − 1)(x + 1) - Точки критические: x = −1, x = 1 - Монотонность: - (−∞, −1): возрастает - (−1, 1): убывает - (1, ∞): возрастает - Экстремумы: - x = −1: локальный максимум. f(−1) = (−1) − (−3) + 2 = 4 - x = 1: локальный минимум. f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 - Прогноз по графику: ведущий член x^3, график идёт на −∞ слева и на ∞ справа. Можно заметить, что x = 1 является двойным (?) корнем графика относительно оси x; на самом деле факторизация даёт f(x) = (x − 1)^2 (x + 2), так что корни x = 1 (кратности 2) и x = −2. - Ключевые точки: локальные экстремумы (−1, 4) и (1, 0); y-перехват: f(0) = 2; корни x: −2, 1 (double корень). 5) y = −x^3/3 + x^2 + 3x − 11/3 - Упрощённо: f(x) = −(1/3)x^3 + x^2 + 3x − 11/3 - Производная: f'(x) = −x^2 + 2x + 3 = −(x^2 − 2x − 3) = −(x − 3)(x + 1) - Точки критические: x = −1, x = 3 - Монотонность: - (−∞, −1): убывает - (−1, 3): возрастает - (3, ∞): убывает - Экстремумы: - x = −1: локальный минимум. f(−1) = −(−1)^3/3 + 1 − 3 − 11/3 = −16/3 ≈ −5.333 - x = 3: локальный максимум. f(3) = −27/3 + 9 + 9 − 11/3 = 16/3 ≈ 5.333 - Прогноз по графику: ведущий член −(1/3)x^3 даёт противоположную асимптоту: при x → −∞ график идёт к +∞, при x → ∞ — к −∞. - Инфлекционная точка: f''(x) = −2x + 2; нулевая при x = 1, y = f(1) = 0. Следовательно, точка перегиба (1, 0). - Ключевые точки: локальный минимум (−1, −16/3), локальный максимум (3, 16/3); инфлексная точка (1, 0). Краткая инструкция по построению графика (обобщённая для всех пяти функций): - Шаг 1. Найдите производную и критические точки (f'(x) = 0 или не существует). - Шаг 2. Разделите вещественную ось на интервалы по критическим точкам и probes значения f'(x) на каждом интервале, чтобы определить знак производной и монотонность. - Шаг 3. По изменениям знака производной определяйте локальные экстремумы: если f' меняет знак с + на -, есть локальный максимум; если с - на +, есть локальный минимум. Запишите координаты экстремумов, подставив критические x в исходную функцию. - Шаг 4. Оцените асимптотическое поведение функции: для полинома степени 3 ведущий член определяет направление ветвей графика слева и справа. - Шаг 5. Для удобной визуализации можно отметить: - y-перехват: f(0) - x-пересечения: решайте f(x) = 0 (если легко получается) - возможные инфлексные точки (где f''(x) = 0) - Шаг 6. Построение графика: начертите оси, отметьте найденные точки экстремумов и инфлексии, учтите направление ветвей на ±∞ и пересечения осей. Если нужна, могу привести готовые графики или нарисовать их пошагово для каждой функции. Также могу помочь с домашней задачей: попросите нарисовать графики или разобрать конкретные промежутки монотонности на заданном вами диапазоне.