Истинное решение:
Обозначим длины соседних сторон параллелограмма так: AB = a, BC = b. Периметр даёт 2(a + b) = 34, значит a + b = 17.
Положим A = (0,0), AB вдоль оси Ox, B = (a, 0). Пусть AD = (p, q) с длиной b, тогда D = (p, q), C = B + AD = (a + p, q).
Внешний бисектор угла при A имеет направление вектором, равным разности единичных векторов along AB и along AD: d_ext ∝ u_hat − w_hat, где u_hat = (1,0), w_hat = (-p, -q)/b. Таким образом
d_ext = (1 + p/b, q/b).
Линия AK задаётся A + t d_ext, а BC задаётся B + s(p, q). Пересечение даёт систему
t(1 + p/b) = a + sp
t(q/b) = sq
since q ≠ 0, получаем t = a и s = a/b. Следовательно
K = A + a d_ext = (a + a p/b, a q/b) = B + (a/b)(p, q).
Вектор CK равен
CK = K − C = (a + ap/b − (a + p), aq/b − q) = (a/b − 1)(p, q) = (a − b)/b · (p, q).
По модулю:
|CK| = |a − b|/b · √(p^2 + q^2) = |a − b|/b · b = |a − b|.
Итак, длина CK не зависит от угла параллелограмма и равна модулю разности соседних сторон:
CK = |AB − BC|.
Данные задачи дают лишь a + b = 17, поэтому CK не было можно определить однозначно: CK может принимать любые значения от 0 до 17 (в реальных числах), в зависимости от того, как распределены стороны AB и BC. Например, при AB = 9, BC = 8 получим CK = 1; при AB = 10, BC = 7 — CK = 3 и т.д. Если же заданы дополнительные условия (например, AB и BC целые числа или конкретные значения), можно определить конкретное число.
