. Кто-то из приехавших в ЛМШ любил решать задачи, кто-то любил танцевать, кто-то – и то, и другое. К концу смены число любителей решать задачи и число любителей танцев не…
. Кто-то из приехавших в ЛМШ любил решать задачи, кто-то любил танцевать, кто-то – и то, и другое. К концу смены число любителей решать задачи и число любителей танцев не изменились, а вот число тех, кто любит и танцевать, и решать задачи, уменьшилось на 17 человек. Как изменилось число тех, кто не любит ни танцевать, ни решать задачи, если состав людей в ЛМШ за смену не изменялся?
Кратко сначала сформулирую:
- Обозначим:
- S — любители решать задачи
- D — любители танцев
- N — общее число людей (за смену состав не менялся)
- Пусть до смены было:
- a = люди, любящие только S
- b = люди, любящие только D
- c = люди, любящие и S, и D (пересечение)
- d = люди, не любящие ни то, ни другое
- Тогда N = a + b + c + d
После смены известно:
- число любителей решать задачи не изменилось: |S| = a + c = a' + c'
- число любителей танцев не изменилось: |D| = b + c = b' + c'
- число любителей и того, и другого уменьшилось на 17: c' = c − 17
- общее число людей не изменялось: N = a' + b' + c' + d'
Пошаговое решение:
По условию |S| не изменилось, значит a' + c' = a + c. Так как c' = c − 17, имеем a' = a + 17.
По условию |D| не изменилось, значит b' + c' = b + c. Так как c' = c − 17, имеем b' = b + 17.
Найдём d' через равенство по общей численности: N = a' + b' + c' + d' = (a + 17) + (b + 17) + (c − 17) + d' Отсюда d' = N − (a + b + c) − 17 = d − 17.
Вывод: число не любящих ни танцев, ни решать задачи уменьшилось на 17 человек.
Дополнительная интуиция (быстрый способ):
- |S ∪ D| = |S| + |D| − |S ∩ D|.
- |S| и |D| не изменились, |S ∩ D| уменьшилось на 17, значит |S ∪ D| увеличилось на 17.
- Так как общее число людей N не изменилось, число людей, не входящих в объединение S ∪ D (то есть не любящих ни то, ни другое), уменьшается на 17.
- Следовательно, не любящих ни танцев, ни решать задачи стало на 17 человек меньше.
Ответ: уменьшилось на 17 человек.
