Задача: m + n = 24 и (m, n) = 8. (Здесь (m, n) означает НОД — наибольший общий делитель.)
Пошаговое решение для 6-й класс:
1) Так как НОД(m, n) = 8, обе стороны должны делиться на 8. Пусть m = 8a и n = 8b, где a и b — целые числа.
2) Подставим в сумму: 8a + 8b = 24. Делим на 8: a + b = 3.
3) Мы ищем пары целых чисел a и b, которые суммируются до 3 и при этом gcd(a, b) = 1 (то есть a и b взаимно простые).
4) Возможные положительные пары, которые дают сумму 3: (a, b) = (1, 2) и (2, 1). В обеих парах gcd(1, 2) = 1.
5) Возьмем обратно m = 8a и n = 8b:
- Если (a, b) = (1, 2), то m = 8, n = 16.
- Если (a, b) = (2, 1), то m = 16, n = 8.
6) Проверка: gcd(8, 16) = 8 и 8 + 16 = 24; gcd(16, 8) = 8 и 16 + 8 = 24. Всё верно.
Ответ (для неотрицательных чисел): m и n могут быть только (8, 16) или (16, 8).
Примечание (для случаев с отрицательными числами): если разрешить отрицательные m или n, получаются дополнительные пары. Общая formа: m = 8a, n = 24 − 8a с условием gcd(|a|, |3 − a|) = 1, что эквивалентно gcd(|a|, 3) = 1 (то есть a не кратно 3). Но для обычных задач в школе чаще рассматривают только положительные значения.
