решите уравнение (2х^2 - 15х + 18) (sin x * sin (x - π/2) + 0,25) = 0 и найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [π/2; 2π]

Решим по шагам и найдём все корни на отрезке [π/2, 2π].

1. Разложим на множители: (2x^2 - 15x + 18) ( sin x · sin(x - π/2) + 0,25 ) = 0 Значит либо 2x^2 - 15x + 18 = 0, либо sin x · sin(x - π/2) + 0,25 = 0.

2. Первая скобка: 2x^2 - 15x + 18 = 0 Дискриминант D = (-15)^2 - 4·2·18 = 225 - 144 = 81, корни x = (15 ± 9) / (2·2) = (15 ± 9)/4. Получаем x = 6 и x = 3/2.

Из них на отрезке [π/2, 2π] находится только x = 6 (так как π/2 ≈ 1.57, 2π ≈ 6.283; 1.5 вне диапазона).

3. Вторая скобка: sin x · sin(x - π/2) + 0,25 = 0 Заметим: sin(x - π/2) = sin x cos(π/2) - cos x sin(π/2) = -cos x. Тогда sin x · sin(x - π/2) = sin x · (-cos x) = - sin x cos x = - (1/2) sin 2x.

Следовательно:

• (1/2) sin 2x + 0,25 = 0 sin 2x = 0,5.

4. Решим sin 2x = 1/2. Обобщённо: 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ, где k ∈ Z. Значит: x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ.

5. Найдём значения в диапазоне [π/2, 2π].

• Для x = π/12 + kπ: k = 1 → x = π/12 + π = 13π/12 (≈ 3.403) — входит в интервал. k = 0 → x = π/12 (≈ 0.262) — не входит. k = 2 → x = 25π/12 ≈ 6.544 — выходит за 2π. Итак, из этого семейства в интервал попадает x = 13π/12.

• Для x = 5π/12 + kπ: k = 0 → x = 5π/12 (≈ 1.309) — меньше π/2, не входит. k = 1 → x = 5π/12 + π = 17π/12 (≈ 4.450) — входит в интервал. k = 2 → x = 29π/12 ≈ 7.613 — больше 2π. Итак, из этого семейства в интервал попадает x = 17π/12.

6. Итог: корни уравнения на [π/2, 2π]: x = 6, x = 13π/12, x = 17π/12.

Ответ: {6, 13π/12, 17π/12}.