изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей A1BC и ABB1.
Задача: для куба ABCDA1B1C1D1 найти прямую пересечения плоскостей A1BC и ABB1.
Пошаговое решение
1) Присвоим кубу координаты (для наглядности):
- A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0)
- A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1)
2) Найдём уравнения плоскостей
- Плоскость A1BC: через точки A1(0,0,1), B(1,0,0), C(1,1,0).
Вектор BC = C−B = (0,1,0), вектор BA1 = A1−B = (−1,0,1).
Нормаль к плоскости: n1 = BC × BA1 = (0,1,0) × (−1,0,1) = (1,0,1).
Уравнение плоскости: n1 · (r − B) = 0 → (1,0,1) · (x−1, y−0, z−0) = 0 → x − 1 + z = 0 → x + z = 1.
- Плоскость ABB1: через точки A(0,0,0), B(1,0,0), B1(1,0,1).
Векторы AB = B − A = (1,0,0), AB1 = B1 − A = (1,0,1).
Нормаль: n2 = AB × AB1 = (1,0,0) × (1,0,1) = (0,−1,0).
Уравнение плоскости: n2 · r = 0 → (0,−1,0) · (x,y,z) = 0 → −y = 0 → y = 0.
3) Пересечение плоскостей
Сочетаем уравнения: y = 0 и x + z = 1.
Это линия, проходящая через точки A1(0,0,1) и B(1,0,0). Её можно записать:
- векторно: r = A1 + t(B − A1) = (0,0,1) + t(1,0,−1) = (t, 0, 1 − t), t ∈ ℝ
- или как множество точек: { (x, y, z) | y = 0, x + z = 1 }.
4) Вывод
Прямая пересечения плоскостей A1BC и ABB1 есть прямая A1B. В стандартной форме её можно записать как y = 0 и x + z = 1, или как линейный параметр: (x, y, z) = (t, 0, 1 − t), t ∈ ℝ.
