Корень из 100678

Задача: найти корень из числа 100678, то есть sqrt(100678).

Коротко скажу: это не совершенный квадрат, поэтому ответ будет с приближением. Ниже подробное решение.

1. Постановка и начальная оценка

• 317^2 = 100489
• 318^2 = 101124 Значит sqrt(100678) лежит между 317 и 318, ближе к 317.

2. Метод Ньютона (пошаговое приближение) Для числа N ищем x примерно такое, что x^2 ≈ N. Используем формулу обновления x_{n+1} = (x_n + N / x_n) / 2. Начальное приближение можно взять как среднее диапазона: x0 = 317.5.

3. Первая итерация

• N / x0 = 100678 / 317.5 ≈ 317.096
• x1 = (x0 + N / x0) / 2 ≈ (317.5 + 317.096) / 2 ≈ 317.298

4. Вторая итерация

• N / x1 ≈ 100678 / 317.298 ≈ 317.297934
• x2 = (x1 + N / x1) / 2 ≈ (317.298 + 317.297934) / 2 ≈ 317.297967

5. Проверка и итог

• x2^2 ≈ 100678.0000 (разница очень мала), значит x2 близко к истинному корню.
• Таким образом, sqrt(100678) приблизительно равно 317.297967.
• При округлении до трех знаков после запятой: 317.298.
• Примечание: sqrt(100678) не является рациональным числом, поэтому точного рационального разложения нет.

Ответ: ≈ 317.297967 (примерно 317.298).