Известно, что у(х)=3^x, а у(4z(x))=1/(x^2). Найти z(х)-?

Задача решается по шагам.

Дано:

• y(x) = 3^x
• y(4 z(x)) = 1/x^2

1. Так как y(t) = 3^t, получаем: 3^{4 z(x)} = 1/x^2 = x^{-2}

2. Берём логарифм по основанию 3: 4 z(x) = log_3(x^{-2})

3. Воспользуемся свойством логарифмов: log_3(x^{-2}) = - log_3(x^2) = -2 log_3|x|

4. Следовательно: z(x) = -(1/2) log_3|x|

Пояснение по области определения:

• выражение log_3|x| определено при |x| > 0, то есть при x ≠ 0. Подстановка в уравнение 3^{4 z(x)} = 1/x^2 действительно удовлетворяется.

Альтернативная запись:

• z(x) = - (ln|x|) / (2 ln 3)

Итог: z(x) = -(1/2) log_3|x| (для x ≠ 0).