|5x-24|=x²+2x+6
Задача: |5x - 24| = x^2 + 2x + 6
Пояснение перед решением:
- Право стороне: x^2 + 2x + 6 = (x+1)^2 + 5, всегда положительно (минимум 5). Значит можно использовать разбиение по знаку выражения под модулем.
Разбиение по знаку 5x - 24
Случай 1: 5x - 24 ≥ 0 (то есть x ≥ 24/5 = 4.8) Тогда |5x - 24| = 5x - 24. Уравнение становится: 5x - 24 = x^2 + 2x + 6 Перенесём всё в одну сторону: x^2 - 3x + 30 = 0 Дискриминант D = (-3)^2 - 4·1·30 = 9 - 120 = -111 < 0 Реальных решений в этом случае нет.
Случай 2: 5x - 24 < 0 (то есть x < 24/5) Тогда |5x - 24| = -(5x - 24) = 24 - 5x. Уравнение становится: 24 - 5x = x^2 + 2x + 6 Перенесём всё в одну сторону: x^2 + 7x - 18 = 0 Дискриминант D = 7^2 - 4·1·(-18) = 49 + 72 = 121 Корни: x = [-7 ± √121]/2 = [-7 ± 11]/2
- x1 = (-7 + 11)/2 = 4/2 = 2
- x2 = (-7 - 11)/2 = -18/2 = -9
Оба корня удовлетворяют условию x < 24/5 (2 < 4.8 и -9 < 4.8), поэтому оба подходят.
Проверка решений (совет: подставим в исходное уравнение):
- Для x = 2: |5·2 - 24| = |10 - 24| = 14, RHS = 2^2 + 2·2 + 6 = 4 + 4 + 6 = 14. Окей.
- Для x = -9: |5·(-9) - 24| = |-45 - 24| = 69, RHS = (-9)^2 + 2(-9) + 6 = 81 - 18 + 6 = 69. Окей.
Итог: решения уравнения x = 2 и x = -9.
