22-Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы. 23-В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1. 25-Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. 27-Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7. 30-Дана правильная треугольная призма АВСА1В1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, С, А1, В1, С1.

Ниже даю решения по каждому из заданий. 22) - Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 4. - Площадь основания: S = (1/2)·4·4 = 8. - Объем призмы: V = S·h = 56, значит боковое ребро h = 56/8 = 7. - Ответ: боковое ребро равно 7. 23) - Призма правильная, стороны основания ABC — 2; высота призмы (боковое ребро) = 2. - Координаты (один удобный выбор): A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,√3,0); A1(0,0,2), B1(2,0,2), C1(1,√3,2). - BB1 направлено вдоль оси z. Направления BB1 = (0,0,2), AC1 = (1,√3,2). - Угол между прямыми BB1 и AC1 равен углу между их направляющими: cos θ = |BB1·AC1| / (|BB1|·|AC1|) = 2 / (2√2) = 1/√2. - θ = 45°. - Ответ: 45 градусов. 25) - В основании через среднюю линию MN (соединяющей середины AB и AC) проведена плоскость P, параллельная боковому ребру AA1. - MN = BC/2 по средней линии треугольника ABC. - Плоскость параллельна боковому ребру и проходит через MN, значит отсечённая призма имеет основание, подобное исходному основанию, с линейным коэффициентом 1/2 по масштабу (половинная длина по двум сторонам основания; высота бокового ребра сохраняется). - Поэтому боковая поверхность отсечённой призмы пропорциональна линейному размеру основания и равна (1/2) от боковой поверхности исходной призмы. - Пусть боковая поверхность отсечённой призмы равна 37, тогда исходная боковая поверхность равна 2·37 = 74. - Ответ: 74. 27) - Та же установка: линейный коэффициент масштаба k = 1/2 для основания, высота та же. - Объём отсечённой призмы масштабируется по квадрату линейного коэффициента: V_removed = k^2 V_original => V_original = V_removed / k^2 = 7 / (1/4) = 28. - Ответ: 28. 30) - Дана правильная треугольная призма ABC A1B1C1. Площадь основания S_base = 7, боковое ребро h = 9. - Рассмотрим многогранник, вершинами которого являются A, C, A1, B1, C1. Это выпуклая би-пирамида над основанием A1B1C1 с апексами A и C. - Объем пирамиды с основанием A1B1C1 и вершиной A: V_A = (1/3)·S_base·h = (1/3)·7·9 = 21. - Аналогично вершина C образует вторую пирамиду с тем же основанием и высотой h, V_C = 21. - Совокупный объём би-пирамиды (сложение двух пирамид): V = V_A + V_C = 42. - Ответ: 42.