22-Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы. 23-В правильной треугольной призме…

Ниже даю решения по каждому из заданий.

• Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 4.
• Площадь основания: S = (1/2)·4·4 = 8.
• Объем призмы: V = S·h = 56, значит боковое ребро h = 56/8 = 7.
• Ответ: боковое ребро равно 7.

• Призма правильная, стороны основания ABC — 2; высота призмы (боковое ребро) = 2.
• Координаты (один удобный выбор): A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,√3,0); A1(0,0,2), B1(2,0,2), C1(1,√3,2).
• BB1 направлено вдоль оси z. Направления BB1 = (0,0,2), AC1 = (1,√3,2).
• Угол между прямыми BB1 и AC1 равен углу между их направляющими: cos θ = |BB1·AC1| / (|BB1|·|AC1|) = 2 / (2√2) = 1/√2.
• θ = 45°.
• Ответ: 45 градусов.

• В основании через среднюю линию MN (соединяющей середины AB и AC) проведена плоскость P, параллельная боковому ребру AA1.
• MN = BC/2 по средней линии треугольника ABC.
• Плоскость параллельна боковому ребру и проходит через MN, значит отсечённая призма имеет основание, подобное исходному основанию, с линейным коэффициентом 1/2 по масштабу (половинная длина по двум сторонам основания; высота бокового ребра сохраняется).
• Поэтому боковая поверхность отсечённой призмы пропорциональна линейному размеру основания и равна (1/2) от боковой поверхности исходной призмы.
• Пусть боковая поверхность отсечённой призмы равна 37, тогда исходная боковая поверхность равна 2·37 = 74.
• Ответ: 74.

• Та же установка: линейный коэффициент масштаба k = 1/2 для основания, высота та же.
• Объём отсечённой призмы масштабируется по квадрату линейного коэффициента: V_removed = k^2 V_original => V_original = V_removed / k^2 = 7 / (1/4) = 28.
• Ответ: 28.

• Дана правильная треугольная призма ABC A1B1C1. Площадь основания S_base = 7, боковое ребро h = 9.
• Рассмотрим многогранник, вершинами которого являются A, C, A1, B1, C1. Это выпуклая би-пирамида над основанием A1B1C1 с апексами A и C.
• Объем пирамиды с основанием A1B1C1 и вершиной A: V_A = (1/3)·S_base·h = (1/3)·7·9 = 21.
• Аналогично вершина C образует вторую пирамиду с тем же основанием и высотой h, V_C = 21.
• Совокупный объём би-пирамиды (сложение двух пирамид): V = V_A + V_C = 42.
• Ответ: 42.