Диагональ прямоугольника равна 10см.а его периметр равен 28см.Найдите стороны прямоугольника
Решение (для среднего школьного уровня)
Обозначим стороны прямоугольника как a и b (в сантиметрах).
- Диагональ: a^2 + b^2 = 10^2 = 100.
- Периметр: 2(a + b) = 28 ⇒ a + b = 14.
Используем формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2: 196 = 100 + 2ab ⇒ 2ab = 96 ⇒ ab = 48.
Стороны являются корнями квадратного уравнения t^2 − (a + b)t + ab = 0, то есть t^2 − 14t + 48 = 0. Дискриминант: D = 14^2 − 4·1·48 = 196 − 192 = 4. Корни: t = (14 ± √4)/2 = (14 ± 2)/2 ⇒ t = 8 или t = 6.
Следовательно, стороны прямоугольника: 6 см и 8 см (порядок не важен).
Проверка:
- Диагональ: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 см.
- Периметр: 2(6 + 8) = 28 см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.
Обсуждение
2 сообщениязделай коротко
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
- Из условия диагонали: \[ a^2 + b^2 = 100 \]
- Из условия периметра: \[ a + b = 14 \]
Из второго уравнения выразим \( b = 14 - a \) и подставим в первое: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100 \]
Соберем все вместе: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Упрощаем: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 14^2 - 4 \cdot 48 = 4 \]
Корни: \[ a = \frac{14 \pm 2}{2} \] Получаем: \[ a = 8 \quad \text{и} \quad b = 6 \]
Ответ: стороны прямоугольника 6 см и 8 см.
