Сравнить √26-√2 и √14

Задача: сравнить √26 − √2 и √14. Обозначим A = √26 − √2 и B = √14. Увидим, что и A, и B положительны, поэтому можно сравнивать их квадраты. 1) Сравнение по квадратам - A^2 = (√26 − √2)^2 = 26 + 2 − 2√(26·2) = 28 − 2√52. - Так как √52 = 2√13, получаем A^2 = 28 − 4√13. - B^2 = (√14)^2 = 14. Так как A > 0 и B > 0, A < B тогда и A^2 < B^2. Значит нужно проверить неравенство: 28 − 4√13 < 14 ⇔ −4√13 < −14 ⇔ √13 > 3.5. Поскольку 3.5^2 = 12.25 < 13, имеем √13 > 3.5, следовательно A^2 < B^2, значит A < B. То есть √26 − √2 меньше √14. 2) Альтернативный способ (для уверенности) Неравенство A < B эквивалентно √26 < √14 + √2 (поскольку все положительно). Возведём в квадрат: 26 < 14 + 2 + 2√(14·2) = 16 + 2√28 = 16 + 4√7. Тогда 10 < 4√7, или 2.5 < √7. Это верно, так как √7 ≈ 2.645. Следовательно A < B. 3) Примерное значение (для интуитивности) √26 ≈ 5.099, √2 ≈ 1.414 → A ≈ 3.685; √14 ≈ 3.742. Разницу примерно видим: A < B. Ответ: √26 − √2 < √14.