f(x)=x⁴-8x²-9

Ниже подробное решение задачи f(x) = x^4 − 8x^2 − 9 с пошаговыми пояснениями.

1. Факторизация через замену переменной

• Обозначим t = x^2 (t ≥ 0). Тогда f(x) = t^2 − 8t − 9.
• Разложим квадрат по т: t^2 − 8t − 9 = (t − 9)(t + 1).
• Подставляя обратно t = x^2, получаем: f(x) = (x^2 − 9)(x^2 + 1) = (x − 3)(x + 3)(x^2 + 1).

2. Корни функции

• x^2 + 1 > 0 для всех вещественных x, поэтому единственные действительные корни — из x^2 − 9 = 0.
• Значит, нули функции: x = −3 и x = 3.

3. Знаки функции

• Так как x^2 + 1 положительно, знак f(x) совпадает со знаком x^2 − 9.
• Следовательно:
  • f(x) < 0 на промежутке (−3, 3);
  • f(x) = 0 в точках x = −3 и x = 3;
  • f(x) > 0 за пределами интервала [−3, 3].

4. Экстремумы: производная и классификация

• Производная: f'(x) = 4x^3 − 16x = 4x(x^2 − 4) = 4x(x − 2)(x + 2).
• Критические точки: x = −2, 0, 2.
• Значения функций в критических точках:
  • f(0) = 0^4 − 8·0^2 − 9 = −9;
  • f(2) = 2^4 − 8·2^2 − 9 = 16 − 32 − 9 = −25;
  • f(−2) = f(2) = −25.
• Вторые производные для классификации:
  • f''(x) = 12x^2 − 16.
  • f''(0) = −16 < 0 ⇒ локальный максимум в x = 0, значение −9.
  • f''(±2) = 32 > 0 ⇒ локальные минимумы в x = ±2, значения −25.

5. Глобальные экстремумы

• Предел f(x) при |x| → ∞: f(x) → +∞, значит глобального максимума нет.
• Глобальный минимум: судя по значениям в критических точках и поведению графика, минимум достигается в x = ±2:
  • f(±2) = −25.
  • Следовательно, глобальный минимум равен −25 при x = ±2.

6. Быстрое неравенство (один из способов увидеть минимум)

• Заметим: f(x) + 25 = x^4 − 8x^2 − 9 + 25 = x^4 − 8x^2 + 16 = (x^2 − 4)^2 ≥ 0.
• Значит f(x) ≥ −25, и равенство достигается при x^2 = 4, то есть при x = ±2. Это согласуется с предыдущим выводом.

Итог

• Корни: x = −3, 3.
• Глобальный минимум: −25 при x = ±2.
• Локальный максимум: −9 в точке x = 0.
• Глобального максимума нет.
• Функция чётко чётно-симметрична: f(−x) = f(x).

Если нужно — могу привести график или сделать таблицу значений в некоторых точках.