через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга

Задача: через середину радиуса шара проведена плоскость, перпендикулярная этому радиусу. Найти отношение площади полученного сечения к площади большого круга.

Обозначим радиус шара как R. Пусть плоскость проходит через середину данного радиуса, значит расстояние от центра шара до плоскости d равно R/2.

Площадь сечения сферы плоскостью на расстоянии d от центра равна площади круга радиуса r = sqrt(R^2 − d^2).

Подставляем d = R/2: r = sqrt(R^2 − (R/2)^2) = sqrt(R^2 − R^2/4) = sqrt(3/4 · R^2) = (√3/2) R.

Площадь полученного сечения (круга) равна: S_сечение = π r^2 = π · ( (√3/2) R )^2 = π · (3/4) R^2.

Площадь большого круга (равного по радиусу шарa) равна: S_большой = π R^2.

Отношение: S_сечение / S_большой = (π · (3/4) R^2) / (π R^2) = 3/4.

Ответ: площадь полученного сечения равна 3/4 площади большого круга.