[(3+4i)*(2-4i)]/[(2-4i)*(2-4i)]

Задача: [(3+4i)(2-4i)] / [(2-4i)(2-4i)]

Пошаговое решение (для понятности):

1. Заметим возможность упрощения

• В числителе есть множитель (2-4i), в знаменателе тоже (2-4i). Если он не равен нулю, можно сократить.
• Таким образом выражение упрощается до (3+4i) / (2-4i).

2. Рационализация знаменателя

• Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый знаменателя: (2+4i).
• Тогда получаем: [(3+4i)(2+4i)] / [(2-4i)(2+4i)].

3. Вычислим числитель и знаменатель

• Знаменатель: (2-4i)(2+4i) = 4 - (4i)^2 = 4 - (-64) = 20. (или по формуле a^2 - b^2: 2^2 - (4i)^2 = 4 - (-16) = 20)
• Числитель: (3+4i)(2+4i) = 32 + 34i + 4i2 + 4i4i = 6 + 12i + 8i + 16i^2 = 6 + 20i - 16 = -10 + 20i.

4. Приведём к действительной дроби

• Делим: (-10 + 20i) / 20 = -10/20 + (20/20)i = -1/2 + i.

Итог: выражение равно -1/2 + i (то есть i - 1/2).