Спрос на игрушку-хабулу, составляет q = (2000 - 100р)*а, млн штук, где р - цена за штуку, тыс. руб., а - рекламные вложения, млрд руб. Издержки его производства (не считая рекламы) равны 0,05q ^2+q (млрд руб.). Какова будет величина прибыли предприятия? Ответ округлите до целого значения. Какой уровень рекламных вложений лучше - 2 или 8 млрд руб.?

Дано: q = (2000 - 100r) · a (млн штук), r — цена за штуку (тыс. руб.), a — реклама (млрд руб.). Прибыль в млрд руб: Π = q r - (0.05 q^2 + q) - a. Из q = a(2000 - 100r) следует r = 20 - q/(100a). Подставляя в Π получаем для фиксированного a: Π(q) = -α q^2 + β q - a, где α = 0.05 + 1/(100a), β = 19. Максимум по q: q* = β/(2α), и максимум прибыли: Π*(a) = -a + β^2 /(4α) = -a + 361 /(4α). Посчитаем для a = 2 и a = 8: - Для a = 2: α = 0.05 + 1/200 = 0.055 4α = 0.22, 361/(4α) = 1640.909, Π*(2) = -2 + 1640.909 = 1638.909 ≈ 1639 млрд руб. - Для a = 8: α = 0.05 + 1/800 = 0.05125 4α = 0.205, 361/(4α) = 1760.976, Π*(8) = -8 + 1760.976 = 1752.976 ≈ 1753 млрд руб. Итак: - Прибыль при а = 2 млрд руб.: около 1639 млрд руб. - Прибыль при а = 8 млрд руб.: около 1753 млрд руб. Лучший уровень рекламных вложений: 8 млрд руб., так как прибыль выше (≈ 1753 против ≈ 1639 млрд руб.). Дополнительно: при a = 2 оптимальный q ≈ 172.73 млн шт, r ≈ 19.14 тыс. руб./шт; при a = 8 оптимальный q ≈ 185.37 млн шт, r ≈ 19.77 тыс. руб./шт.