f(x)=√x-2 начертить график

Задача: f(x) = √x − 2. Нужно начертить график и понять его свойства.

Кратко: график получаем из базового графика y = √x двумя преобразованиями: сдвиг вниз на 2 единицы. То есть график y = √x сначала поднимается как корень, затем опускается на 2.

Пошаговое решение и объяснение

1. Доменная область и диапазон

• Домeнa: x ≥ 0 (из-за корня).
• Диапазон: y ≥ −2 (поскольку √x ≥ 0 и отнимаем 2).

2. Что именно происходит с графиком

• Базовый график y = √x начинается в точке (0, 0) и идёт вправо, поднимаясь медленно и плавно.
• Вычитая 2, мы сдвигаем каждую точку вниз на 2. Новая точка начала графика: (0, −2).
• Поэтому график начинается в (0, −2) и возрастает вправо, как и у √x, но на 2 единицы ниже.

3. Ключевые точки (для построения)

• Точка пересечения с осью y: f(0) = √0 − 2 = −2 → (0, −2).
• Точка пересечения с осью x: чтобы y = 0, нужно √x − 2 = 0 → √x = 2 → x = 4 → точка (4, 0).
• Другие милые точки для построения (возьмём квадраты):
  • x = 1: y = √1 − 2 = 1 − 2 = −1 → (1, −1)
  • x = 4: y = 0 → (4, 0)
  • x = 9: y = √9 − 2 = 3 − 2 = 1 → (9, 1)
  • x = 16: y = 4 − 2 = 2 → (16, 2)
• Эти точки помогают понять форму: график идёт через (0, −2), (1, −1), (4, 0), (9, 1), (16, 2) и т. д.

4. Свойства графика

• Рост графика: функция возрастает на всей допустимой сфере (для x > 0, f′(x) = 1/(2√x) > 0). В точке x = 0 касательная вертикальна (производная не существует на границе домена), поэтому в начале график «начинается» с вертикального угла.
• Вогнутость: график вогнут вверх (поскольку √x имеет вторую производную −1/(4x^(3/2)) для x > 0, то вторая производная отрицательная, значит график выпукло-вогнут вниз? Приведу корректно: для y = √x − 2 вторая производная y'' = −1/(4 x^(3/2)) < 0 на x > 0, значит график вогнут вниз). Это как и ожидается для корня.
• Никаких асимптот нет.
• График — обычная «параболо-луна» вверх, но с уклоном. Он начинается в (0, −2) и постепенно поднимается вправо.

5. Как нарисовать график (инструкция)

• Нарисуйте декартову систему координат.
• Отложите точку (0, −2) как начало графика.
• Постройте дополнительные точки: (1, −1), (4, 0), (9, 1), (16, 2).
• Соедините эти точки плавной кривой, осторожно повторяя характер sqrt: кривая растёт медленно в начале и постепенно «раскрывается» вправо, оставаясь плавной и вогнутой вниз.
• Обозначьте оси и подпишите функцию f(x) = √x − 2.

6. Краткое резюме

• График f(x) = √x − 2 — это график y = √x, сдвинутый вниз на 2 единицы.
• Домена: x ≥ 0. Диапазон: y ≥ −2.
• Пересечения: y-пересечение в (0, −2); x-пересечение в (4, 0).
• Основная идея: начать в (0, −2) и рисовать плавную, возрастающую кривую через указанные точки.

Если нужно, могу нарисовать примерный ASCII-рисунок или помочь подобрать ещё дополнительные точки для более точного чертежа.