Найдите стационарные точки функции " y=cos2x+2cosx"

Цель: понять и найти стационарные точки функции y = cos(2x) + 2 cos x. Пошаговое решение 1) Найдем производную: - dy/dx = d/dx(cos 2x) + d/dx(2 cos x) = -2 sin 2x - 2 sin x. - Можно вынести общий множитель: dy/dx = -2 [sin 2x + sin x] = -2 [2 sin x cos x + sin x] = -2 sin x (2 cos x + 1). 2) Стационарные точки решаются из уравнения dy/dx = 0: -2 sin x (2 cos x + 1) = 0 Значит, либо sin x = 0, либо cos x = -1/2. 3) Решения по каждому случаю - Sin x = 0: x = kπ, k ∈ Z. - Cos x = -1/2: x = ± 2π/3 + 2πk, k ∈ Z. 4) Значения функции в стационарных точках - Для x = kπ: cos x = (-1)^k, cos 2x = cos(2kπ) = 1. y = cos 2x + 2 cos x = 1 + 2(-1)^k. Это равно 3 при k чётном и -1 при k нечётном. - Для x = ± 2π/3 + 2πk: cos x = -1/2, cos 2x = cos(4π/3) = cos(8π/3) = -1/2. y = (-1/2) + 2(-1/2) = -3/2. 5) Классификация стационарных точек (по второй производной) Вторая производная: y'' = d/dx(-2 sin 2x - 2 sin x) = -4 cos 2x - 2 cos x. - В точках x = kπ: cos 2x = 1, cos x = (-1)^k. y'' = -4 - 2(-1)^k < 0 для всех k → все эти точки являются локальными максимумами. Значения: y = 3 при чётных k, y = -1 при нечётных k. - В точках x = ± 2π/3 + 2πk: cos x = -1/2, cos 2x = -1/2. y'' = -4(-1/2) - 2(-1/2) = 2 + 1 = 3 > 0 → локальные минимумы. Значение y = -3/2. Итак, стационарные точки функции y = cos(2x) + 2 cos x включают: - x = kπ, y = 1 + 2(-1)^k (локальные максимумы; y = 3 для чётных k, y = -1 для нечётных k); - x = ± 2π/3 + 2πk, y = -3/2 (локальные минимумы). Если нужно, могу привести компактную запись через параметры k ∈ Z.