2. С крыши дома оторвалась сосулька и за 0,2 с пролетела мимо окна, высота которого равна 1,5 м. С какой высоты относительно верхнего края окна она оторвалась? Размерами сосульки…
2. С крыши дома оторвалась сосулька и за 0,2 с пролетела мимо окна, высота которого равна 1,5 м. С какой высоты относительно верхнего края окна она оторвалась? Размерами сосульки пренебречь.
Задача по физике для 10 класса. Цель: понять решение пошагово.
Условия:
- Сосулька отпала с крыши и за 0,2 с пролетела мимо окна высотой 1,5 м.
- Размеры сосульки пренебречь (м-лы расстояния не нужно учитывать).
- Начальная скорость при отпадении: нулевая (отпалила с крыши).
Обозначения:
- H = высота окна = 1,5 м.
- Δt = время, за которое сосулька пролетела мимо окна = 0,2 с.
- g ≈ 9,8 м/с².
- d — искомая высота отпадения над верхним краем окна (то есть расстояние от верхнего края окна до точки отпадения). Хотим найти d.
Модель движения:
- Пусть верх окна соответствует нулю по высоте, вниз положительно.
- Отпавшая сосулька начинает движение с высоты y0 = −d.
- Коорд. по времени: y(t) = −d + (1/2) g t².
Точки пересечения окна:
- Сверх toppen окна (верхний край): y = 0. 0 = −d + (1/2) g t₁² ⇒ t₁ = sqrt(2d/g).
- Нижний край окна: y = H. H = −d + (1/2) g t₂² ⇒ t₂ = sqrt(2(d+H)/g).
Время прохождения окна: Δt = t₂ − t₁ = 0,2 с. То есть: sqrt(2(d+H)/g) − sqrt(2d/g) = 0,2.
Упростим, вынеся sqrt(2/g): sqrt(2/g) [ sqrt(d+H) − sqrt(d) ] = 0,2 ⇒ sqrt(d+H) − sqrt(d) = Δt · sqrt(g/2).
Численно:
- sqrt(g/2) = sqrt(9,8/2) = sqrt(4,9) ≈ 2,2136.
- d = 0,2 · 2,2136 ≈ 0,443 (назовём это d_значение).
Теперь решение относительно d: Пусть s = sqrt(d). Тогда sqrt(d+H) = sqrt(s² + H). Уравнение: sqrt(s² + H) − s = d ≈ 0,443. Из квадрирования получаем: H = 2 s d + d² ⇒ s = (H − d²) / (2d).
Подставим H = 1,5 м и d ≈ 0,443: d² ≈ 0,196 H − d² ≈ 1,5 − 0,196 = 1,304 2d ≈ 0,886
s ≈ 1,304 / 0,886 ≈ 1,47 d = s² ≈ (1,47)² ≈ 2,16 м.
Ответ: Сосулька оторвалась на примерно 2,16 метра выше верхнего края окна. Округлим до 2,2 м.
Проверка (примерный подсчёт): t₁ ≈ sqrt(2d/g) ≈ sqrt(2·2,16/9,8) ≈ sqrt(0,441) ≈ 0,66 с t₂ ≈ sqrt(2(d+H)/g) ≈ sqrt(2·3,66/9,8) ≈ sqrt(0,747) ≈ 0,86 с Δt ≈ 0,86 − 0,66 ≈ 0,20 с — совпадает с данными.
Итого: высота отпадения над верхним краем окна ≈ 2,2 м.
Обсуждение
2 сообщенияприми g=10
В данном случае мы принимаем ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \).
Данные из задачи:
- Высота окна \( H = 1.5 \, \text{м} \)
- Время полета сосульки мимо окна \( \Delta t = 0.2 \, \text{с} \)
- Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)
Обозначения:
- \( d \) — высота, с которой оторвалась сосулька относительно верхнего края окна.
Модель движения:
Пусть сосулька отпала с высоты \( h = d + H \).
Сходим из уравнения движения сосульки под действием силы тяжести: \[ y(t) = h - \frac{1}{2} g t^2 \] где \( h = d + H \).
Определяем моменты времени, когда сосулька проходит верхний и нижний края окна.
Время, когда сосулька проходит верхний край окна (\( y = 0 \)): \[ 0 = (d + H) - \frac{1}{2} g t_1^2 \] \[ t_1 = \sqrt{\frac{2(d + H)}{g}} \]
Время, когда сосулька проходит нижний край окна (\( y = H \)): \[ H = (d + H) - \frac{1}{2} g t_2^2 \] \[ t_2 = \sqrt{\frac{2(d + H - H)}{g}} = \sqrt{\frac{2d}{g}} \]
Разница времени \( \Delta t = t_2 - t_1 = 0.2 \): \[ \sqrt{\frac{2d}{g}} - \sqrt{\frac{2(d + H)}{g}} = 0.2 \]
Подставим \( g = 10 \):
\[ \sqrt{\frac{2d}{10}} - \sqrt{\frac{2(d + 1.5)}{10}} = 0.2 \] Упростим: \[ \sqrt{\frac{d}{5}} - \sqrt{\frac{d + 1.5}{5}} = 0.2 \] Группируем: \[ \sqrt{\frac{d + 1.5}{5}} - \sqrt{\frac{d}{5}} = 0.2 \] Умножаем на \( \sqrt{5} \): \[ \sqrt{d + 1.5} - \sqrt{d} = 0.2\sqrt{5} \] Квадратируем обе стороны: \[ d + 1.5 - d = 0.2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 0.2 \cdot \sqrt{5d} \] Сокращаем: \[ 1.5 = 0.04 \cdot 5 + 0.4 \cdot \sqrt{5d} \] Упрощаем: \[ 1.5 = 0.2 + 0.4 \cdot \sqrt{5d} \] \[ 1.3 = 0.4 \cdot \sqrt{5d} \] Делим обе стороны на 0.4: \[ \sqrt{5d} = \frac{1.3}{0.4} = 3.25 \] Квадратируем: \[ 5d = (3.25)^2 = 10.5625 \] \[ d = \frac{10.5625}{5} = 2.1125 \text{ м} \]
Ответ:
Сосулька оторвалась с высоты примерно 2.11 м относительно верхнего края окна.
