|х-4|=6х-х²-8 Можно ли это уравнение раскрыть так: х-4=6х-х²-8 х-4=-(6х-х²-8)
Да, можно разложить так, но с условием: для равенства |A| = B нужно чтобы B был неотрицательным. Поэтому при разложении на два случая нужно обязательно учитывать условие 6x − x^2 − 8 ≥ 0.
Пусть A = x − 4 и B = 6x − x^2 − 8. Тогда |A| = B даёт два случая, при условии B ≥ 0:
- A = B, то есть x − 4 = 6x − x^2 − 8, и при этом 6x − x^2 − 8 ≥ 0.
- A = −B, то есть x − 4 = −(6x − x^2 − 8) = −6x + x^2 + 8, и при этом 6x − x^2 − 8 ≥ 0.
Решения области B ≥ 0: 6x − x^2 − 8 ≥ 0 ⇔ −x^2 + 6x − 8 ≥ 0 ⇔ x^2 − 6x + 8 ≤ 0 ⇔ (x − 2)(x − 4) ≤ 0 Следовательно, x ∈ [2, 4].
Решения случаев:
Случай 1: x − 4 = 6x − x^2 − 8 → −x^2 + 5x − 4 = 0 → x^2 − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0 → x = 1 или x = 4. Учитывая x ∈ [2, 4], остаётся x = 4.
Случай 2: x − 4 = −(6x − x^2 − 8) = −6x + x^2 + 8 → x^2 − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 или x = 4. Остаются оба, так как они лежат в [2, 4].
Итого, решения уравнения |x − 4| = 6x − x^2 − 8: x = 3 и x = 4.
Проверка:
- для x = 3: |−1| = 1, правая часть = 18 − 9 − 8 = 1.
- для x = 4: |0| = 0, правая часть = 24 − 16 − 8 = 0.
Замечание: альтернативно можно было возвести в квадрат, но тогда возникли бы лишние корни; после квадратирования обязательно проверить каждое решение в исходном уравнении. Здесь разбиение на два случая с условием B ≥ 0 — нагляднее и надёжнее.
