В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BC и CD, AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырёхугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

Задача: в тетраэдре ABCD точки M, N и P — середины ребер AB, BC и CD соответственно; AC = 10 см, BD = 12 см. Доказать, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найти периметр четырехугольника, полученного пересечением тетраэдра с плоскостью MNP. Пошаговое решение 1) Найдем длины и направления серединных отрезков - В треугольнике ABC середины M на AB и N на BC дают MN ∥ AC и MN = AC/2. Значит MN = 10/2 = 5 см. - В треугольнике BCD середины N на BC и P на CD дают NP ∥ BD и NP = BD/2. Значит NP = 12/2 = 6 см. - В треугольнике ABD середины M на AB и K на AD дают MK ∥ BD и MK = BD/2. Значит KM = 12/2 = 6 см. - В треугольнике ACD середины P на CD и K на AD дают PK ∥ AC и PK = AC/2. Значит PK = 10/2 = 5 см. Итого: MN = PK = 5 см, NP = KM = 6 см. Направления: MN ∥ AC, PK ∥ AC; NP ∥ BD, KM ∥ BD. 2) Доказательство, что плоскость MNP проходит через K (середина AD) - Обозначим вершины тетраэдра векторно: M = (A + B)/2, N = (B + C)/2, P = (C + D)/2, K = (A + D)/2. - Заметим, что K может быть записан как K = M + P − N. Это тождество следует из подстановки: M + P − N = (A+B)/2 + (C+D)/2 − (B+C)/2 = (A + D)/2 = K. - Со знанием того, что M, N и P лежат в одной плоскости (они определяют плоскость MNP), выражение K = M + P − N показывает, что K является аффинной комбинацией M, N, P с суммой коэффициентов равной 1. Значит K принадлежит той же плоскости, что и MNP. - Следовательно, плоскость MNP действительно проходит через точку K, середину ребра AD. 3) Периметр четырехугольника, образовавшегося пересечением плоскости MNP - Плоскость MNP пересекает тетраэдр по четырем ребрам: AB (в точке M), BC (в точке N), CD (в точке P) и AD (в точке K). Следовательно, она образует четырехугольник M–N–P–K. - Стороны этого четырехугольника: - MN = 5 см, PK = 5 см (оба параллельны AC и равны половине AC), - NP = 6 см, KM = 6 см (обе параллельны BD и равны половине BD). - Так как MN ∥ PK и NP ∥ KM, фигура MNPК является параллелограммом (прямые стороны попарно параллельны). - Поскольку параллелограмм имеет пары равных противоположных сторон, его периметр равен 2·(MN + NP) = 2·(5 + 6) = 22 см. Ответ - Плоскость MNP действительно проходит через середину K ребра AD. - Четырехугольник MNPК, получившийся при пересечении тетраэдра плоскостью MNP, является параллелограммом со сторонами 5 см и 6 см; его периметр равен 22 см.