Из трёх ромбов составили шестиугольник так, как это показано на рисунке. Расстояние между противоположными сторонами этого шестиугольника равны 10, 15, 20. Найдите сумму высот…

Цель: найти сумму высот трех ромбов.

Обозначим высоты ромбов как h1, h2, h3. В расстановке трёх ромбов вокруг центра их стороны образуют три направления A, B и C, причём в каждой паре противоположных сторон hexagon параллельна одному из направлений. Тогда расстояния между противоположными сторонами по этим направлениям равны суммам соответствующих высот:

• расстояние по направлению A: d_A = h1 + h3
• по направлению B: d_B = h1 + h2
• по направлению C: d_C = h2 + h3

По условию данные расстояния равны 10, 15 и 20 (порядок не задан, но это не влияет на итог):

d_A = 10 d_B = 15 d_C = 20

Теперь решаем систему:

• h1 + h3 = 10
• h1 + h2 = 15
• h2 + h3 = 20

Из первого двух: h3 − h2 = −5 → h2 = h3 + 5. Подставляем в третье: (h3 + 5) + h3 = 20 → 2h3 = 15 → h3 = 7.5. Тогда h2 = 7.5 + 5 = 12.5. Из первого: h1 = 10 − h3 = 10 − 7.5 = 2.5.

Сумма высот: h1 + h2 + h3 = 2.5 + 12.5 + 7.5 = 22.5.

Альтернативно можно заметить, что сумма расстояний между противоположными сторонами равна 2(h1 + h2 + h3): d_A + d_B + d_C = 2S, где S = h1 + h2 + h3. Тогда S = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2 = 22.5.

Ответ: 22.5 (единиц).