Проведите угол p и q так, чтобы луч p делил MN НА два угла, а луч q не делил угол MN НА два угла. В какой области угла MN, внутренней ИЛИ внешней, лежит на луч p?

Понимаю задачу так: дан угол, образованный двумя лучами, назовём его ∠XMY (то есть стороны угол formed by MX и MY). Нужно провести два луча p и q так, чтобы:

• луч p делил данный угол ∠XMY на два равных внутренних угла (то есть был внутренним бисектором);
• луч q не делил угол ∠XMY на два равных угла.

Вопрос: в какой области ∠XMY лежит луч p — во внутренней или во внешней?

Короткий ответ: луч p является внутренним бисектором данного угла и лежит во внутренней области угла ∠XMY.

Обоснование и как построить (пошагово для школы):

1. Пусть ∠XMY образован лучами MX и MY.
2. Чтобы построить внутренний бисектор p, возьмём радиус r и на лучах MX и MY отметим точки A и B так, чтобы MA = MB = r (то есть A и B лежат на дуге, которую окружность с центром M радиуса r пересекает лучи MX и MY).
3. Затем построим окружности с центрами A и B одинакового радиуса (например, радиуса AB) и найдём их точку пересечения P (за пределами отрезка AB). Соединим MP.
4. Луч MP — внутренний бисектор ∠XMY, потому что треугольники MAP и MBP равны по признаку SAS (MA = MB и PA = PB, общая сторона MP), следовательно ∠XMP = ∠PMY.
5. Луч q можно выбрать произвольно так, чтобы он не был бисектором (например, лежал на одной из сторон угла или за пределами внутренней области).

Ответ на вопрос: луч p лежит во внутренней области угла MN (то есть внутри самого угла, между его сторонами). Если же речь велась о внешнем бисекторе, то такой луч лежал бы в внешней области и делил бы внешний угол пополам — это другая бисекция, перпендикулярна внутреннему бисектору. Но в формулировке задачи сказано именно делить угол на два равных, значит речь о внутреннем бисекторе.