Треугольник KTM k=45° TM=8√2 MK=8 найти угол T-? угол M-? R-?

Задача: в треугольнике KTM дано угол K = 45°, стороны TM = 8√2 ( opposite K ) и MK = 8 ( opposite угол M ). Найти углы T и M и радиус описанной окружности R.

Шаги решения

1. Обозначения и Law of Sines

• В треугольнике KTM стороны и противоположные им углы соотнесены так:
  • сторона TM противоположна углу K;
  • сторона MK противоположна углу M;
  • сторона KT противоположна углу T.
• По законам синусов (в любом треугольнике) выполняется: MT / sin(K) = MK / sin(M) = KT / sin(T) = 2R, где R — радиус описанной окружности.

2. Найдём 2R из данных

• sin(K) = sin(45°) = √2/2.
• MT = 8√2.
• Поэтому MT / sin(K) = (8√2) / (√2/2) = 16.
• Следовательно 2R = 16, значит R = 8.

3. Найдём угол M

• По той же середине: MK / sin(M) = 2R = 16.
• MK = 8, значит sin(M) = 8 / 16 = 1/2.
• Возможные значения: M = 30° или M = 150°. Но сумма углов K + M + T = 180° и K = 45°, поэтому M не может быть 150° (ыза получится отрицательный Т). Значит M = 30°.

4. Найдём угол T

• Тот же факт: T = 180° − K − M = 180° − 45° − 30° = 105°.

Ответ

• Угол T = 105°
• Угол M = 30°
• Радиус описанной окружности R = 8

Проверка: можно проверить по формуле KT = 2R sin(T) = 16 sin(105°) ≈ 15.46, что согласуется с аналогичным расчётом.