функция издержек фирмы имеет вид TC=2Q2+10Q+100, определите прибыль фирмы на совершенном рынке если цена равна 90

Задача: TC(Q) = 2Q^2 + 10Q + 100, на совершенном рынке цена P = 90. Найдите прибыль фирмы.

Краткая идея: на совершенном рынке фирма – ценообразователь-ценополучатель, поэтому MR = P. Фирма выбирает Q, чтобы максимизировать прибыль π(Q) = TR(Q) – TC(Q), где TR = P·Q.

Пошаговое решение

1. Определяем функции

• Доходы: TR(Q) = P·Q = 90Q
• Издержки: TC(Q) = 2Q^2 + 10Q + 100
• Прибыль: π(Q) = TR(Q) – TC(Q) = 90Q – (2Q^2 + 10Q + 100) = -2Q^2 + 80Q - 100

2. Найдем оптимальный выпуск через MR = MC

• MR при совершенной конкуренции равен цене: MR = P = 90.
• MC = dTC/dQ = 4Q + 10.
• Уравнение максимизации: MC = MR → 4Q + 10 = 90 → Q* = 20.

3. Проверка максимума

• Вторая производная прибыли: d^2π/dQ^2 = -4 < 0, значит максимум достигнут.

4. Вычисляем прибыль в оптимальном выпуске

• TR(20) = 90·20 = 1800
• TC(20) = 2·20^2 + 10·20 + 100 = 2·400 + 200 + 100 = 1100
• π(20) = TR – TC = 1800 – 1100 = 700

5. Дополнительная проверка экономической целесообразности

• Средние издержки: ATC(20) = TC(20)/20 = 1100/20 = 55
• Переменные издержки: VC(Q) = TC(Q) – FC, где FC = 100, значит AVC(Q) = VC(Q)/Q = (TC(Q) – 100)/Q = (2Q^2 + 10Q)/Q = 2Q + 10. При Q = 20: AVC = 2·20 + 10 = 50
• Цена P = 90 > AVC = 50, поэтому производство целесообразно в краткосрочном периоде.

Ответ Прибыль максимальная на уровне Q* = 20 и равна π* = 700 (единиц валюты). Соответствующие TR = 1800, TC = 1100; ATC при этом = 55, AVC = 50, что подтверждает экономическую целесообразность производства.